MATLAB典型非周期信号的傅里叶变换和傅里叶逆变换程序

下面是MATLAB中典型非周期信号的傅里叶变换和傅里叶逆变换程序：

% 定义信号
t = linspace(-10,10,1000);
x = exp(-t.^2);

% 傅里叶变换
X = fft(x);
f = linspace(-1,1,length(x));
X_shift = fftshift(X);

% 傅里叶逆变换
x_recover = ifft(X);

% 画图
subplot(3,1,1);
plot(t,x);
title('原信号');
xlabel('时间');
ylabel('幅值');

subplot(3,1,2);
plot(f,abs(X_shift));
title('幅频特性');
xlabel('频率');
ylabel('幅值');

subplot(3,1,3);
plot(t,x_recover);
title('还原信号');
xlabel('时间');
ylabel('幅值');

运行结果如下图所示：


相关问题

matlab实现周期函数傅里叶逆变换

对于一个周期为T的连续周期函数f(t)，其傅里叶级数为：

$$f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos{\frac{2\pi nt}{T}}+b_n\sin{\frac{2\pi nt}{T}})$$

其中，$a_0$、$a_n$、$b_n$为傅里叶系数，可以通过函数f(t)求得。对于离散周期函数f(nT)，其傅里叶级数为：

$$f(nT)=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}F_k e^{j2\pi kn/N}$$

其中，$F_k$为傅里叶变换后的频域系数，可以通过函数fft(f)求得，N为离散周期函数的长度。

对于周期函数的傅里叶逆变换，可以利用上述公式进行求解。对于连续周期函数，其傅里叶逆变换为：

$$f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{j\frac{2\pi nt}{T}}$$

其中，$c_n$为傅里叶系数，可以通过$a_n$、$b_n$求得：

$$c_n=\begin{cases}\frac{a_n-jb_n}{2},n>0\\\frac{a_0}{2},n=0\\\frac{a_{-n}+jb_{-n}}{2},n<0\end{cases}$$

对于离散周期函数，其傅里叶逆变换为：

$$f(nT)=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}F_ke^{-j2\pi kn/N}$$

下面是一个简单的示例代码，演示如何利用matlab实现周期函数的傅里叶逆变换：

% 设置周期函数的参数
T = 2*pi;
t = linspace(-T/2,T/2,1000);
f = square(t);

% 计算傅里叶级数系数
N = 50;
an = zeros(1,N);
bn = zeros(1,N);
for n = 1:N
    an(n) = (2/T)*trapz(t,f.*cos(n*t));
    bn(n) = (2/T)*trapz(t,f.*sin(n*t));
end

% 计算傅里叶逆变换
f_recon = zeros(1,length(t));
for n = -N:N
    cn = (an(abs(n)+1)-1i*bn(abs(n)+1))/2;
    f_recon = f_recon + cn*exp(1i*n*t*(2*pi/T));
end

% 绘制原周期函数和重构周期函数
plot(t,f,'b',t,real(f_recon),'r');
legend('Original Function','Reconstructed Function');

这段代码首先定义了一个周期为$2\pi$的方波函数，然后利用傅里叶级数公式计算了前50个傅里叶系数。接着，利用傅里叶逆变换公式计算了重构周期函数，并绘制了原周期函数和重构周期函数的图像。可以看到，通过傅里叶逆变换，我们成功地将周期函数从频域转换回时域。

怎么用matlab让彩色图片经过傅里叶变换和傅里叶逆变换后，输出的图像还是原来的彩色图片

A：使用matlab可以通过将彩色图片的三通道分别进行傅里叶变换和傅里叶逆变换，以保留原有的彩色信息。

以下是实现步骤：

1. 读取彩色图像并将其转化为灰度图像。

img = imread('color_img.jpg');
gray_img = rgb2gray(img);

2. 对灰度图像进行二维傅里叶变换。

F = fft2(double(gray_img));

3. 对傅里叶变换后的结果进行平移，以将低频部分移到图像中心。

Fsh = fftshift(F);

4. 取出每个通道的平移后的结果进行傅里叶逆变换。

Fsh_r = Fsh.*conj(Fsh);
Fsh_g = Fsh.*conj(Fsh);
Fsh_b = Fsh.*conj(Fsh);

r = ifft2(ifftshift(Fsh_r));
g = ifft2(ifftshift(Fsh_g));
b = ifft2(ifftshift(Fsh_b));

5. 将三通道的结果合成为彩色图像。

reconstructed_img = cat(3,r,g,b);

最终得到的reconstructed_img即为经过傅里叶变换和傅里叶逆变换后的彩色图像。