【基础】MATLAB中的图像变换：傅里叶变换与逆傅里叶变换

# 2.1 傅里叶变换的定义和性质

### 2.1.1 傅里叶变换的定义

傅里叶变换是一种数学变换，将时域信号（图像）转换为频域表示。对于一个二维图像 `f(x, y)`，其傅里叶变换 `F(u, v)` 定义为：

F(u, v) = ∫∫ f(x, y) e^(-2πi(ux + vy)) dx dy

其中，`(u, v)` 是频域坐标，`i` 是虚数单位。

### 2.1.2 傅里叶变换的性质

傅里叶变换具有以下重要性质：

* **线性性：**傅里叶变换是线性的，即对于任意两个图像 `f(x, y)` 和 `g(x, y)`，以及常数 `a` 和 `b`，有：

  F(a f(x, y) + b g(x, y)) = a F(f(x, y)) + b F(g(x, y))

* **平移不变性：**傅里叶变换对图像的平移不变，即对于一个平移了 `(a, b)` 的图像 `f(x - a, y - b)`，其傅里叶变换为：

  F(f(x - a, y - b)) = F(f(x, y)) e^(-2πi(ua + vb))

* **旋转不变性：**傅里叶变换对图像的旋转不变，即对于一个旋转了 `θ` 角度的图像 `f(x cos θ - y sin θ, x sin θ + y cos θ)`，其傅里叶变换为：

  F(f(x cos θ - y sin θ, x sin θ + y cos θ)) = F(f(x, y)) e^(-2πiθ(u + v))

# 2. 傅里叶变换理论

傅里叶变换是一种数学变换，它将一个时域信号（图像）转换为一个频域表示。它将图像分解为一系列正弦和余弦波，每个波都有自己的频率和幅度。

### 2.1 傅里叶变换的定义和性质

#### 2.1.1 傅里叶变换的定义

对于一个连续函数 f(x)，其傅里叶变换 F(u) 定义为：

F(u) = ∫_{-\infty}^{\infty} f(x) e^(-2πiux) dx

其中：

* u 是频率变量
* i 是虚数单位

#### 2.1.2 傅里叶变换的性质

傅里叶变换具有以下性质：

* **线性性：** F(af(x) + bg(x)) = aF(f(x)) + bF(g(x))
* **时移：** F(f(x - a)) = e^(-2πiua) F(f(x))
* **频移：** F(f(x)e^(2πiax)) = F(f(x)) * e^(-2πiua)
* **卷积：** F(f(x) * g(x)) = F(f(x)) * F(g(x))
* **自相关：** F(f(x) * f(-x)) = |F(f(x))|^2

### 2.2 傅里叶变换的应用

傅里叶变换在图像处理中有着广泛的应用，包括：

#### 2.2.1 图像增强

傅里叶变换可以用于增强图像的对比度、亮度和锐度。通过调整频域中不同频率分量的幅度和相位，可以增强图像中特定的特征。

#### 2.2.2 图像去噪

傅里叶变换可以用于去除图像中的噪声。噪声通常表现为频域中高频分量的增加。通过滤除这些高频分量，可以有效去除噪声。

**代码块：**

import numpy as np
import cv2

# 读取图像
image = cv2.imread('image.jpg')

# 傅里叶变换
F = np.fft.fft2(image)

# 移频到频谱中心
F_shifted = np.fft.fftshift(F)

# 滤除高频噪声
F_filtered = F_