阶跃函数原图像及傅立叶变换图像，以及阶跃函数傅立叶逆变换图像matlab代码

阶跃函数原图像及傅立叶变换图像：

% 阶跃函数原图像及傅立叶变换图像

% 定义阶跃函数
x = linspace(-5, 5, 1000);
y = zeros(size(x));
y(x >= 0) = 1;

% 绘制阶跃函数原图像
subplot(2, 1, 1);
plot(x, y);
title('阶跃函数原图像');

% 计算阶跃函数的傅立叶变换
Y = fft(y);

% 计算频谱
Fs = 1000;
f = linspace(-Fs/2, Fs/2, length(Y));
Y = fftshift(Y);

% 绘制阶跃函数的傅立叶变换图像
subplot(2, 1, 2);
plot(f, abs(Y));
title('阶跃函数的傅立叶变换图像');

阶跃函数傅立叶逆变换图像：

% 阶跃函数傅立叶逆变换图像

% 定义阶跃函数的傅立叶变换
Y = zeros(1, 1000);
Y(500:505) = 0.5;
Y(496:499) = 0.25;
Y(506:509) = 0.25;

% 计算阶跃函数的傅立叶逆变换
y = ifft(ifftshift(Y));

% 绘制阶跃函数的傅立叶逆变换图像
plot(x, real(y));
title('阶跃函数的傅立叶逆变换图像');

相关问题

阶跃信号原函数图像，阶跃信号傅立叶变换，阶跃信号傅立叶逆变换图像都显示matlab代码

阶跃信号原函数图像的Matlab代码：

t = -5:0.01:5; % 时间范围
y = heaviside(t); % 阶跃函数
plot(t,y); % 绘制图像
title('阶跃函数');
xlabel('时间');
ylabel('幅值');

阶跃信号傅立叶变换的Matlab代码：

syms t w; % 定义符号变量
f = heaviside(t); % 定义阶跃函数
F = fourier(f); % 对阶跃函数进行傅立叶变换
pretty(F); % 输出傅立叶变换结果

阶跃信号傅立叶逆变换图像的Matlab代码：

syms t w; % 定义符号变量
F = 1./(1j*w) + pi*dirac(w); % 傅立叶变换结果
f = ifourier(F); % 对傅立叶变换结果进行逆变换
subplot(1,2,1); % 绘制原函数图像
t = -5:0.01:5;
y = heaviside(t);
plot(t,y);
title('阶跃函数');
xlabel('时间');
ylabel('幅值');
subplot(1,2,2); % 绘制逆变换图像
t = -5:0.01:5;
y = eval(subs(f,t)); % 对逆变换结果进行数值计算
plot(t,y);
title('傅立叶逆变换结果');
xlabel('时间');
ylabel('幅值');

阶跃函数的傅立叶变换过程详细

阶跃函数是一种特殊的函数，也称为单位阶跃函数，通常用符号 u(t) 表示。其定义如下：

$
u(t) = \begin{cases}
0, & t < 0 \\
1, & t \geq 0
\end{cases}
$

阶跃函数在 t = 0 处发生了跃变，因此在傅立叶变换时需要考虑其奇点处的影响。

根据傅立叶变换的定义，阶跃函数的傅立叶变换为：

$
\begin{aligned}
\mathcal{F}\{u(t)\} &= \int_{-\infty}^{\infty} u(t) e^{-j\omega t} dt \\
&= \int_{0}^{\infty} e^{-j\omega t} dt \\
&= \lim_{T \to \infty} \int_{0}^{T} e^{-j\omega t} dt \\
&= \lim_{T \to \infty} \frac{1 - e^{-j\omega T}}{j\omega} \\
&= \frac{1}{j\omega} \lim_{T \to \infty} (1 - e^{-j\omega T}) \\
&= \frac{1}{j\omega} \cdot 1 \\
&= \frac{1}{j\omega}
\end{aligned}
$

其中，第二步到第三步利用了函数的定义，第三步到第四步利用了分部积分公式，最后一步利用了极限的性质。

因此，阶跃函数的傅立叶变换为 $1/(j\omega)$。需要注意的是，阶跃函数的傅立叶变换不存在直流分量，即在 $\omega=0$ 处没有傅立叶系数。这是因为阶跃函数在 t = 0 处发生了跃变，其能量集中在高频部分。