对路灯进行整批更换，若每个路灯更换价格为a，若不亮路灯单位时间罚款是b，路灯寿命服从正态分布，更换周期为T，灯泡总数为K，在路灯更换策略问题中，考虑到更换时的未坏灯泡 尚有使用价值，若每个未坏灯泡的回收价为c元，如何确定更换周期使时间成本最小，求路灯的更换周期。

假设路灯的寿命服从正态分布 $N(\mu,\sigma^2)$，则每个灯泡的寿命 $X_i$ 可以表示为 $X_i = \mu + \sigma Z_i$，其中 $Z_i$ 是标准正态分布 $N(0,1)$。因此，在任何给定时刻，有 $p$ 个灯泡是坏的，$k-p$ 个灯泡是好的，其中 $p$ 服从二项分布 $B(k,p)$，则每个时刻的罚款金额为 $bp$ 元。

设更换周期为 $T$，则每 $T$ 个单位时间需要更换 $k/T$ 个灯泡。因为未坏灯泡也有使用价值，所以在更换时可以将未坏灯泡回收，回收价值为 $(k-p)c$ 元。因此，总时间成本为：

$$
C(T) = \frac{a}{k/T} + \frac{b}{k} \sum_{p=0}^k \binom{k}{p} p \cdot T + \frac{c}{k} \sum_{p=0}^k \binom{k}{p} (k-p) \cdot T
$$

其中第一项为更换成本，第二项为罚款成本，第三项为回收成本。因为 $\sum_{p=0}^k \binom{k}{p} p = k/2$，$\sum_{p=0}^k \binom{k}{p} (k-p) = k/2$，所以可以简化为：

$$
C(T) = \frac{aT}{k} + \frac{1}{2} Tb \cdot \frac{k}{2} + \frac{1}{2} Tc \cdot \frac{k}{2}
$$

对 $C(T)$ 求导可得：

$$
C'(T) = \frac{a}{k} - \frac{1}{2} b \cdot \frac{k}{2} + \frac{1}{2} c \cdot \frac{k}{2} = 0
$$

解得：

$$
T = \frac{2a}{b+c}
$$

因此，路灯的更换周期为 $\frac{2a}{b+c}$。