给定一个二维函数f(x,y)=x²+y²,使用梯度下降算法找到该函数的最小值点。 要求: 1. 选择合适的初始点 (x, y) 2. 设置合适的学习率α和迭代次数,利用梯度接近于0作为终止迭代条件 3. 绘制3D版本的梯度下降路径,实现动画迭代过程(生成gif文件)。

时间: 2024-09-18 11:11:33 浏览: 55
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梯度下降实现计算f=x^2+y^2最小值

要使用梯度下降算法寻找函数 \( f(x, y) = x^2 + y^2 \) 的最小值点,我们需要首先计算梯度向量,然后迭代更新初始点。这里我们假设你已经安装了 `numpy` 和 `matplotlib` 库。下面是逐步操作的步骤: 1. 导入必要的库: ```python import numpy as np from matplotlib import cm from matplotlib.animation import FuncAnimation import matplotlib.pyplot as plt ``` 2. 定义函数及其梯度: ```python def f(x, y): return x**2 + y**2 def gradient_descent(x0, y0, learning_rate=0.01, num_iterations=100, threshold=1e-6): x = y = x0 for _ in range(num_iterations): grad_x = 2 * x grad_y = 2 * y new_x, new_y = x - learning_rate * grad_x, y - learning_rate * grad_y # 检查梯度是否足够小,如果满足则停止迭代 if abs(grad_x) < threshold and abs(grad_y) < threshold: break x, y = new_x, new_y return x, y ``` 3. 初始化并执行梯度下降: ```python x0, y0 = np.random.uniform(-10, 10), np.random.uniform(-10, 10) # 选择一个初始点 x_min, y_min = gradient_descent(x0, y0) print(f"Minimum found at ({x_min}, {y_min})") ``` 4. 创建三维图像并添加动画: ```python fig = plt.figure() ax = fig.add_subplot(projection='3d') # 初始化数据 x, y = np.meshgrid(np.linspace(-15, 15, 100), np.linspace(-15, 15, 100)) z = f(x, y) # 初始点 scatter = ax.scatter3D(x0, y0, f(x0, y0), c='red', s=100, alpha=0.7) def update(frame): scatter._offsets3d = (x[frame], y[frame], z[frame]) scatter.set_array(z[frame]) ax.set_title(f"Iteration {frame}") ani = FuncAnimation(fig, update, frames=np.arange(0, num_iterations), interval=50) plt.show() # 保存为GIF动画 ani.save('gradient_descent_path.gif') ```
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