欧拉定理、拓展欧拉定理及其应用(欧拉降幂法)
时间: 2023-08-31 07:48:18 浏览: 79
欧拉定理是数论中的一条重要定理,表述为:若 $a$ 和 $n$ 为正整数,且 $a$ 与 $n$ 互质,则 $a^{\varphi(n)}\equiv 1\pmod{n}$,其中 $\varphi(n)$ 表示小于等于 $n$ 的正整数中与 $n$ 互质的数的个数,也称为欧拉函数。
拓展欧拉定理是欧拉定理的一种推广,适用于当 $a$ 和 $n$ 不互质的情况。拓展欧拉定理表述为:若 $a$ 和 $n$ 为正整数,且 $a$ 与 $n$ 不同时为 $0$,则 $a^{\phi(n)+\operatorname{lcm}(a,n)}\equiv a^{\phi(n)}\pmod{n}$,其中 $\phi(n)$ 表示欧拉函数,$\operatorname{lcm}(a,n)$ 表示 $a$ 和 $n$ 的最小公倍数。
欧拉降幂法是一种基于欧拉定理的计算方法,用于求解形如 $a^b\pmod{m}$ 的形式,其中 $a$、$b$、$m$ 均为正整数且 $m$ 不一定为质数。如果 $a$ 与 $m$ 互质,则可以直接使用欧拉定理进行计算;如果 $a$ 与 $m$ 不互质,则需要使用拓展欧拉定理进行计算。该算法的基本思想是通过对指数 $b$ 递归分解,将指数降到可以直接使用欧拉定理进行计算的范围内,从而减少计算量。
相关问题
欧拉定理c语言
欧拉定理是指对于任意正整数 a 和 m,若 a 和 m 互质,则有 a^φ(m) ≡ 1 (mod m),其中 φ(m) 表示欧拉函数,表示小于等于 m 的正整数中与 m 互质的数的个数。
以下是 C 语言实现欧拉定理的代码:
```c
#include <stdio.h>
// 求解 a^b mod m
int mod_pow(int a, int b, int m) {
int res = 1;
while (b > 0) {
if (b & 1) {
res = (res * a) % m;
}
a = (a * a) % m;
b >>= 1;
}
return res;
}
// 求解欧拉函数的值
int euler(int n) {
int res = n;
for (int i = 2; i * i <= n; i++) {
if (n % i == 0) {
res = res / i * (i - 1);
while (n % i == 0) {
n /= i;
}
}
}
if (n > 1) {
res = res / n * (n - 1);
}
return res;
}
int main() {
int a, m;
printf("请输入 a 和 m:");
scanf("%d %d", &a, &m);
int phi = euler(m);
int res = mod_pow(a, phi, m);
printf("%d^%d ≡ %d (mod %d)\n", a, phi, res, m);
return 0;
}
```
在该代码中,我们分别实现了求解 a^b mod m 和求解欧拉函数的函数 mod_pow 和 euler,并在主函数中进行了调用。
使用c语言实现欧拉定理
欧拉定理是指若a和n是正整数且a与n互质,则a^φ(n) ≡ 1(mod n),其中φ(n)表示小于等于n的正整数中与n互质的数的个数。
以下是使用C语言实现欧拉定理的代码:
```c
#include <stdio.h>
int gcd(int a, int b)
{
if(b==0)
return a;
return gcd(b,a%b);
}
int phi(int n)
{
int result=1;
for(int i=2;i<n;i++)
{
if(gcd(i,n)==1)
result++;
}
return result;
}
int power(int x, int y, int m)
{
int res=1;
x=x%m;
while(y>0)
{
if(y&1)
res=(res*x)%m;
y=y>>1;
x=(x*x)%m;
}
return res;
}
int main()
{
int a=7,n=13;
printf("a^n mod m is: %d\n",power(a,phi(n),n));
return 0;
}
```
在这个例子中,我们使用了三个函数gcd, phi和power。
gcd函数用于计算两个数的最大公约数。
phi函数用于计算小于等于n的正整数中与n互质的数的个数。
power函数用于计算a^n mod m的值。
在main函数中,我们使用了以上三个函数来计算7^phi(13) mod 13的结果,结果为1。
注意:此代码仅用于演示目的,没有对足够的边界情况进行测试,不建议直接用于实际应用。
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