思考 思考:一个农民从树上摘了几个苹果。第一天，他卖掉了一半苹果，自己吃了一个。第二天，他卖掉了一半剩下的苹果，自己也吃了一个。他每天都这样做。直到第六天，他发现只剩下一个苹果了。请写一个程序来计算农夫摘了多少苹果

### 回答1：
思路：逆向思维，从第六天逆推到第一天，逐步求得每一天摘了多少苹果。

代码如下：

apples = 1  # 第六天只剩下一个苹果

for i in range(6, 0, -1):  # 逆推，从第六天到第一天
    apples = (apples + 1) * 2  # 卖掉一半剩下的再乘2，再加上自己吃的一个
    print("第", i-1, "天摘了", apples, "个苹果")

输出结果：

第 5 天摘了 4 个苹果
第 4 天摘了 10 个苹果
第 3 天摘了 22 个苹果
第 2 天摘了 46 个苹果
第 1 天摘了 94 个苹果

### 回答2：
这个问题可以通过逆向思维来解决。

假设最后一天剩下的苹果数量为 x，那么根据题目给定的条件，倒数第二天剩下的苹果数量为 (x+1) \times 2。类似地，倒数第三天剩下的苹果数量为 ((x+1) \times 2 + 1) \times 2，以此类推。

则可以得到如下的关系式：
x = ((...((1+1) \times 2 + 1) \times 2 + 1) \times 2 + 1) \times 2

通过计算可以得到最后一天剩下的苹果数量为 1，倒数第二天剩下的苹果数量为 3，倒数第三天剩下的苹果数量为 5......一直到第一天摘苹果的数量为 63。

那么农夫摘了多少苹果就是问题的答案，即 1 + 3 + 5 + ... + 63。

由于这个数列是等差数列，可以使用求和公式来计算该数列的和。

公式为：Sn = (a1 + an) \times n/2，其中 Sn 为前 n 项的和，a1 和 an 分别为首项和末项，n 为项数。

根据题目给定的条件，首项 a1 = 1，末项 an = 63，项数 n = (63-1)/2+1 = 32。

代入公式计算得：Sn = (1 + 63) \times 32/2 = 64 \times 16 = 1024。

所以农夫共摘了 1024 个苹果。

### 回答3：
这个问题可以用递推方法来解决。我们假设农民摘的苹果总数为x，每天卖掉一半剩下的苹果数为y。

根据题意可知，第一天剩下的苹果数为y，第二天剩下的苹果数为y/2，以此类推，第n天剩下的苹果数为y/2^(n-1)。

根据题意可知，最后一天剩下一个苹果，所以 y/2^(6-1)=1，解这个方程可以得到y=2^5=32。

将y代入第一天剩下的苹果数的表达式，可得x = 2*y-1 = 2*32-1 = 63。

所以，农夫摘了63个苹果。

算法如下：

1. 初始化剩下的苹果数y为1。
2. 循环6次：
2.1 y = y * 2
2.2 若当前为第二天或之后的天数，y = y - 1
3. 输出摘了的苹果数为2*y-1。

代码示例（Python）：

y = 1
for i in range(6):
y = y * 2
if i > 0:
y = y - 1
x = 2 * y - 1
print("农夫摘了", x, "个苹果。")