prim算法求最小生成树

Prim算法是一种用于求解加权无向连通图的最小生成树的贪心算法。其基本思想是从图中任意选一个顶点为起点，然后不断地向外扩展，每次选择与当前生成树相邻的边中权值最小的那条边，并将其连接的顶点加入生成树中，直到生成树包含所有顶点为止。

具体实现上，可以使用一个优先队列来维护当前生成树和未加入生成树的点之间的边，每次从队列中取出权值最小的边并将其连接的点加入生成树中，然后将与该点相邻的未加入生成树的点和边加入队列中，直到队列为空。

Prim算法的时间复杂度为O(ElogV)，其中E为边数，V为顶点数。在稠密图中，E约为V^2，因此Prim算法的时间复杂度为O(V^2logV)。在稀疏图中，E约为VlogV，因此Prim算法的时间复杂度为O(ElogV)=O(VlogVlogV)。

相关问题

prim算法求最小生成树m

以下是Prim算法求最小生成树的步骤和代码实现：

1. 朴素Prim算法步骤：
- 选择一个起始顶点作为生成树的根节点。
- 将该顶点加入生成树的集合。
- 从生成树的集合中选择一条边，该边的两个顶点一个在生成树的集合中，一个不在。
- 选择这些边中权值最小的边，并将该边的另一个顶点加入生成树的集合。
- 重复上述步骤，直到生成树的集合包含所有顶点。

2. 堆优化Prim算法步骤：
- 选择一个起始顶点作为生成树的根节点。
- 将该顶点加入生成树的集合，并将与该顶点相邻的边加入最小堆中。
- 从最小堆中选择一条权值最小的边，如果该边的另一个顶点不在生成树的集合中，则将该边加入生成树，并将与该顶点相邻的边加入最小堆中。
- 重复上述步骤，直到生成树的集合包含所有顶点。

3. 代码实现：
- 朴素Prim的代码实现：

   def prim(graph):
       n = len(graph)
       visited = [False] * n
       visited[0] = True
       edges = []
       while len(edges) < n - 1:
           min_weight = float('inf')
           u, v = -1, -1
           for i in range(n):
               if visited[i]:
                   for j in range(n):
                       if not visited[j] and graph[i][j] < min_weight:
                           min_weight = graph[i][j]
                           u, v = i, j
           edges.append((u, v))
           visited[v] = True
       return edges

- 堆优化Prim的代码实现：

   import heapq

   def prim(graph):
       n = len(graph)
       visited = [False] * n
       visited[0] = True
       edges = []
       heap = []
       for i in range(1, n):
           heapq.heappush(heap, (graph[0][i], 0, i))
       while len(edges) < n - 1:
           weight, u, v = heapq.heappop(heap)
           if visited[v]:
               continue
           edges.append((u, v))
           visited[v] = True
           for i in range(n):
               if not visited[i]:
                   heapq.heappush(heap, (graph[v][i], v, i))
       return edges

prim算法求最小生成树 matlab

好的，以下是使用Prim算法求最小生成树的Matlab代码：

function [MST, total_weight] = prim(adj_matrix)
% adj_matrix: 邻接矩阵，表示图的连接情况和边权值
% MST: 最小生成树的邻接矩阵
% total_weight: 最小生成树的总权值

n = size(adj_matrix, 1); % 图中节点数
visited = false(1, n); % 标记节点是否已经被访问
key = inf(1, n); % 存储每个节点到最小生成树的距离
parent = zeros(1, n); % 存储每个节点在最小生成树中的父节点

% 从第一个节点开始构建最小生成树
key(1) = 0;
parent(1) = -1;

for i = 1:n-1
    % 找到距离最小生成树最近的节点
    min_key = inf;
    min_index = -1;
    for j = 1:n
        if ~visited(j) && key(j) < min_key
            min_key = key(j);
            min_index = j;
        end
    end
    
    visited(min_index) = true;
    
    % 更新与该节点相邻的节点到最小生成树的距离和父节点
    for j = 1:n
        if ~visited(j) && adj_matrix(min_index, j) < key(j)
            key(j) = adj_matrix(min_index, j);
            parent(j) = min_index;
        end
    end
end

% 构建最小生成树的邻接矩阵
MST = zeros(n);
for i = 2:n
    MST(i, parent(i)) = adj_matrix(i, parent(i));
    MST(parent(i), i) = adj_matrix(i, parent(i));
end

total_weight = sum(MST(:))/2; % 计算最小生成树的总权值

end