解释一下 Cramér–Rao lower bound

Cramér–Rao lower bound是一种统计学中的理论，它给出了估计量的最小方差的下界。该下界表明，对于任何无偏估计量，其方差不会小于Cramér–Rao lower bound。换句话说，如果使用无偏估计器进行估计，那么它最好的精度是可以通过Cramér–Rao lower bound来限制的。

具体而言，设θ是待估参数，X是一个样本，f(X;θ)是X的概率密度函数。令g(X)是θ的无偏估计量，即E[g(X)] = θ。那么Cramér–Rao lower bound可表示为：

Var[g(X)] ≥ [1 / I(θ)],

其中I(θ)是关于θ的Fisher信息量，它反映了在θ的邻域内，X中包含的关于θ的信息量的多少。

需要注意的是，Cramér–Rao lower bound并不是一个具体的数值，而是一个理论上的下限。它的作用在于帮助我们评估一个给定的估计器的性能，以及指导我们如何选择更好的估计器。