推导平面和椭圆抛物面的交线的参数方程

设平面的方程为 $ax + by + cz + d = 0$，椭圆抛物面的方程为 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z}{c} = 1$，其中 $a, b, c$ 分别为椭圆抛物面沿三个坐标轴的半轴长。

将平面的方程代入椭圆抛物面的方程，得到交线的方程：
$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{(ax + by + d)}{c} = 1$$
整理后可得到：
$$(b^2+c^2)x^2 + (a^2+c^2)y^2 + 2abcdxy + 2ac(cz+d)x + 2bc(cz+d)y + (a^2b^2 - c^2d^2) = 0$$
令 $A = b^2+c^2, B = a^2+c^2, C = 2abcd, D = 2ac(cz+d), E = 2bc(cz+d), F = a^2b^2 - c^2d^2$，则交线的方程可以写作：
$$Ax^2 + By^2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0$$

由于该方程是一个二次曲线方程，我们可以通过配方法得到标准式，即：
$$\left(x+\frac{Cy+2BE}{4AE-B^2}\right)^2 + \left(y+\frac{CBx+2AD}{4AE-B^2}\right)^2 = \frac{4AEF-D^2}{(4AE-B^2)^2}$$

这是一个标准的椭圆方程，其中 $x_0 = -\frac{Cy+2BE}{4AE-B^2}$ 和 $y_0 = -\frac{CBx+2AD}{4AE-B^2}$ 分别为椭圆的中心坐标，$a' = \sqrt{\frac{4AEF-D^2}{(4AE-B^2)^2}}$ 和 $b' = \sqrt{\frac{4AEF-D^2}{(4BE-C^2)^2}}$ 分别为椭圆的半轴长。

因此，平面和椭圆抛物面的交线的参数方程为：
$$\begin{cases} x = -\frac{Cy+2BE}{4AE-B^2} + a'\cos t \\ y = -\frac{CBx+2AD}{4AE-B^2} + b'\sin t \\ z = \frac{c(ax+by+d)}{a^2+b^2+c^2} \end{cases}$$

其中 $t$ 为参数，取值范围为 $[0, 2\pi)$。