小型火箭的初始重量为 1400Kg,其中包括 1080Kg 燃料.火箭竖直向上发射时燃料燃 烧率为 18Kg/s,由此产生 32000N 的推力.火箭引擎在燃烧用尽时关闭.设火箭上升时空气阻 力正比于速度的平方,比例系数为 0.4Kg/m,求引擎关闭瞬间火箭的高度,速度,加速度以及 火箭到达最高点时的高度和加速度,并画出高度,速度,加速度随时间变化的图形

解决这个问题需要使用牛顿第二定律 F=ma，其中 F 是火箭的推力减去空气阻力，m 是火箭的质量，a 是火箭的加速度。

在火箭的旅程中，有两种情况需要考虑：

1. 火箭燃料燃烧时，推力大于空气阻力。

2. 火箭燃料用尽后，只有空气阻力作用。

首先，我们可以计算火箭在燃料燃烧时的运动情况。设 t 为时间，h 为火箭的高度，v 为火箭的速度，m 为火箭的质量，其中 m = 1400 - 18t。

当火箭燃料燃烧时，火箭的推力为 32000N，空气阻力为 0.4v^2，因此牛顿第二定律可以表示为：

32000 - 0.4v^2 - 18m = m dv/dt

将 m 代入可得：

32000 - 0.4v^2 - 25200 + 18t = (1400 - 18t) dv/dt

化简可得：

dv/dt = (32000 - 0.4v^2 - 25200 + 18t) / (1400 - 18t)

这是一个一阶非齐次微分方程，可以使用Mathematica求解。以下是一个示例代码：

DSolve[{v'[t] == (32000 - 0.4 v[t]^2 - 25200 + 18 t)/(1400 - 18 t), v[0] == 0, h'[t] == v[t], h[0] == 0}, {v[t], h[t]}, t]

运行这个代码可以得到火箭在燃料燃烧时的速度和高度的解析表达式。其中，v[t] 表示时间 t 时的速度，h[t] 表示时间 t 时的高度。

接下来，我们需要计算火箭在燃料用尽后的运动情况。在这种情况下，火箭的推力为 0，空气阻力为 0.4v^2。牛顿第二定律可以表示为：

-0.4v^2 = (1400 - 18t) dv/dt

这也是一个一阶非齐次微分方程，可以使用Mathematica求解。以下是一个示例代码：

DSolve[{v'[t] == -0.4 v[t]^2/(1400 - 18 t), v[T] == vEnd, h'[t] == v[t], h[T] == hEnd}, {v[t], h[t]}, t]

其中，vEnd 和 hEnd 分别表示火箭在燃料用尽时的速度和高度。这两个值可以从火箭在燃料燃烧时的解析表达式中计算得到。

最后，我们可以使用Manipulate函数创建一个交互式界面，用来探索不同的初始条件对火箭运动的影响。以下是一个示例代码：

Manipulate[
 Module[{sol1, sol2, T, vEnd, hEnd},
  sol1 = DSolve[{v'[t] == (32000 - 0.4 v[t]^2 - 25200 + 18 t)/(1400 - 18 t), v[0] == 0, h'[t] == v[t], h[0] == 0}, {v[t], h[t]}, t];
  vEnd = v[T] /. sol1[[1]] /. {T -> tEnd};
  hEnd = h[T] /. sol1[[1]] /. {T -> tEnd};
  sol2 = DSolve[{v'[t] == -0.4 v[t]^2/(1400 - 18 t), v[T] == vEnd, h'[t] == v[t], h[T] == hEnd}, {v[t], h[t]}, t];
  {Plot[Evaluate[h[t] /. sol1], {t, 0, tEnd}, PlotRange -> All, PlotLabel -> "Height vs. Time", AxesLabel -> {"Time", "Height"}],
   Plot[Evaluate[v[t] /. sol1], {t, 0, tEnd}, PlotRange -> All, PlotLabel -> "Velocity vs. Time", AxesLabel -> {"Time", "Velocity"}],
   Plot[Evaluate[(32000 - 0.4 v[t]^2 - 25200 + 18 t)/(1400 - 18 t) /. sol1], {t, 0, tEnd}, PlotRange -> All, PlotLabel -> "Acceleration vs. Time", AxesLabel -> {"Time", "Acceleration"}]}
  ],
 {{tEnd, 100}, 1, 200, 1, Appearance -> "Labeled"}
 ]

这个代码中，Manipulate函数包含一个滑块，用来控制模拟的时间长度。每次滑块的值改变时，Module函数会重新计算火箭的运动情况，并将结果绘制成三个图表，分别表示火箭的高度、速度和加速度随时间的变化。你可以通过拖动滑块来改变模拟的时间长度，观察火箭的运动情况。