最小均值误差算法代码实现

最小均值误差算法（Minimum Mean Square Error, MMSE）是一种常用的信号处理算法，用于估计未知信号。在实际应用中，MMSE算法经常被用于信号恢复、降噪和信道均衡等方面。下面是MMSE算法的代码实现，供参考：

假设我们要估计一个未知信号 $x$，它被加上了高斯白噪声 $n$，则接收到的信号为 $y=x+n$。我们假设 $n$ 是一个均值为 $0$，方差为 $\sigma^2$ 的高斯白噪声。则 $y$ 的均值为 $E(y)=E(x)+E(n)=E(x)$，方差为 $Var(y)=Var(x)+Var(n)=Var(x)+\sigma^2$。

MMSE算法的目标是估计 $x$ 的值，使得估计值和真实值的均方误差（Mean Square Error, MSE）最小。假设我们用一个线性函数 $f(y)=\alpha y+\beta$ 来估计 $x$ 的值，则估计值为 $\hat{x}=f(y)=\alpha y+\beta$。我们要求出 $\alpha$ 和 $\beta$ 的值，使得均方误差最小。

根据均方误差的定义，有：

$MSE=E[(\hat{x}-x)^2]$

$=E[(\alpha y+\beta-x)^2]$

$=E[(\alpha(x+n)+\beta-x)^2]$

$=E[(\alpha n)^2]+2E[\alpha(x-\beta)n]+E[(\alpha x+\beta-x)^2]$

$=\alpha^2\sigma^2+(\alpha E[x]+\beta-x)^2+Var(\alpha x+\beta-x)$

对 $\alpha$ 和 $\beta$ 求导，令导数为 $0$，即可求出最小均方误差估计：

$\alpha=\frac{Var(x)}{Var(x)+\sigma^2}$

$\beta=E(x)-\alpha E(y)$

下面是Python代码实现：

import numpy as np

def mmse(y, var_x, var_n):
    # y: 接收到的信号
    # var_x: 信号的方差
    # var_n: 噪声的方差

    alpha = var_x / (var_x + var_n)
    beta = np.mean(y) - alpha * np.mean(x)
    return alpha * y + beta

其中，$\texttt{x}$ 是未知信号。