计算1/4 + 4/5 + 5/9 + 9/14 +…的前n项和

由于题目中的数列是无限的，我们不可能直接将所有项相加。但是，我们可以通过计算前n项和来近似地得到总和。根据公式：

S(n) = 1/4 + 4/5 + 5/9 + 9/14 + ... + a(n)

其中a(n)是数列的第n项，S(n)是前n项的和。

我们可以使用通项公式推导出a(n)：

a(n) = n/(n+3)

将其代入前面的公式，得到：

S(n) = 1/4 + 4/5 + 5/9 + 9/14 + ... + n/(n+3)

现在我们可以考虑当n趋近于无穷大时，S(n)会趋近于多少。

我们可以将每一项拆分为两个分数，把它们加起来：

n/(n+3) = (n+3-3)/(n+3) = 1 - 3/(n+3)

将其代入前面的公式，得到：

S(n) = 1/4 + (1-3/8) + (1-3/12) + (1-3/17) + ... + (1-3/(n+3))

S(n) = n/4 - 3(1/4 + 1/8 + 1/12 + ... + 1/(n+3))

注意到括号中的部分是一个无穷级数：

1/4 + 1/8 + 1/12 + ... + 1/(n+3)

这是一个调和级数，可以用调和级数的性质来计算：

1/1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n = ln(n) + γ + O(1/n)

其中ln(n)是自然对数，γ是欧拉常数。将这个公式代入原式，得到：

S(n) = n/4 - 3(ln(n+3) + γ - 1/4 - 1/8 - ... - 1/(n+2))

括号中的部分是一个调和级数减去一个常数，因此也可以用相同的公式计算。将它们代入原式，得到：

S(n) = n/4 - 3ln(n+3) - 3γ + O(1/n)

因此，当n趋近于无穷大时，S(n)的值趋近于：

lim S(n) = lim (n/4 - 3ln(n+3) - 3γ + O(1/n))

n->∞

= -∞

因此，原数列的和是负无穷大。