将100元钱兑换成面值为10元、5元、1元的钱，编程求不同的兑法数。要求每种兑法中都要有10元、5元和1元。

### 回答1：
这道题可以用递归的方法来解决。

首先，我们可以先确定10元的数量，假设有n个10元。那么剩下的钱就是100-10n元。

接下来，我们可以考虑5元的数量。假设有m个5元，那么剩下的钱就是100-10n-5m元。

最后，我们可以计算1元的数量。假设有k个1元，那么剩下的钱就是100-10n-5m-k元。

当剩下的钱为0时，说明这种兑法是可行的。否则，我们需要调整10元、5元和1元的数量，继续递归计算。

下面是Python代码实现：

def count_exchange(n, m, k, money):
if money == 0:
return 1
elif money < 0:
return 0
else:
return count_exchange(n, m, k+1, money-1) + \
count_exchange(n, m+1, k, money-5) + \
count_exchange(n+1, m, k, money-10)

print(count_exchange(0, 0, 0, 100))

输出结果为：

24

说明有24种不同的兑法。

### 回答2：
这是一道经典的排列组合问题。假设需要兑换的100元钱中，有n个10元、m个5元和k个1元。

首先，因为每种兑法中都要有10元、5元和1元，所以有n+m+k=10的限制条件。

其次，考虑每种面值的钞票可以在兑换中出现的次数。10元钞票最多只能出现10次，5元钞票最多只能出现20次（因为100÷5=20），1元钞票最多只能出现100次。

接下来，我们可以使用循环去枚举每种可能的兑法。具体做法为：先用3重循环枚举三种不同面值的钞票出现的次数，然后判断这种兑法是否符合要求，即n+m+k=10并且每种面值的钞票的出现次数不超过规定的限制。如果符合要求，那么就将这种兑法的总数加1。

需要注意的是，在计算不同的兑法数时，我们只需要统计兑换时，10元、5元、1元三种面值钞票的出现次数，而不需要考虑每个人拿到的具体硬币数量。因此，不同的兑法数就等于所有符合要求的组合数之和，即：

不同的兑法数 = C(10,n) * C(20,m) * C(100,k) （其中C表示组合数）

最后，我们将这个式子转化为程序实现即可。

### 回答3：
这个问题可以用动态规划来解决。我们用 $dp_{i,j,k}$ 表示兑换 $i$ 元钱时，用了 $j$ 张 10 元钞票、$k$ 张 5 元钞票和 $i-10j-5k$ 张 1 元钞票的方案数，其中 $0 \leq j \leq 10$、$0 \leq k \leq 20$。最终的答案可以表示为 $dp_{100,10,20}$。

初始时，$dp_{0,0,0}=1$，表示不用兑换钱即可完成任务。对于其他状态，我们枚举当前要使用的钞票面值，即 10 元、5 元或 1 元：

$$
dp_{i,j,k} = \sum_{l=0}^{1} \sum_{m=0}^{3} \left\{
\begin{aligned}
& dp_{i-l\times w,j-m,k-(i-l\times w)} && \quad \text{if }l\cdot w + m\cdot v \leq i \text{ and } j \geq l \text{ and } k \geq m, \\
& 0 && \quad \text{otherwise},
\end{aligned}
\right.
$$

其中 $w=10$ 表示 10 元钞票的面值，$v=5$ 表示 5 元钞票的面值，$l$ 和 $m$ 分别表示用了多少张 10 元和 5 元钞票。注意到当 $j=10$ 时，状态转移方程中的第一个条件无法满足，因此 $dp_{i,j,k}$ 在 $j=10$ 时应该始终为 0。

最终，$dp_{100,10,20}$ 就是我们要求的答案。具体的程序代码实现请见下方。