当 t 满足什么条件，使二次型 f=x12+2x22+3x32+2x1x2-2x1x3+2tx2x3是正定的。

首先，对于一个二次型矩阵为正定的必要条件是其所有特征值均为正数。因此，我们可以先求出该二次型的特征值。

二次型矩阵为：

$$
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 0 \\
-1 & 2t & 2 \\
0 & 2 & 3
\end{pmatrix}
$$

计算其特征多项式：

$$
\begin{aligned}
|\lambda I - A| &= \begin{vmatrix}
\lambda - 1 & 1 & 0 \\
1 & \lambda - 2t & -2 \\
0 & -2 & \lambda - 3
\end{vmatrix} \\
&= (\lambda - 1)(\lambda - 2t)(\lambda - 3) + 4 - 2(\lambda - 1)(\lambda - 3) \\
&= \lambda^3 - (6 + 2t)\lambda^2 + (9 + 4t)\lambda - 4
\end{aligned}
$$

根据特征多项式的性质，该矩阵的特征值为方程 $|\lambda I - A| = 0$ 的解。因此，我们需要求解如下方程：

$$
\lambda^3 - (6 + 2t)\lambda^2 + (9 + 4t)\lambda - 4 = 0
$$

可以使用 Vieta 定理求出该方程的根之和、根之积和两两之积之和：

$$
\begin{aligned}
&\sum \lambda_i = 6 + 2t \\
&\prod \lambda_i = 4 \\
&\sum_{i < j} \lambda_i \lambda_j = 9 + 4t
\end{aligned}
$$

二次型矩阵为正定的充分必要条件是其所有特征值均为正数，因此我们需要保证所有特征值均大于零。根据 Vieta 定理，我们可以得到：

$$
\lambda_1 \lambda_2 \lambda_3 = 4 > 0
$$

因此，$\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ 不能都为负数。考虑当 $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ 均为正数时，可以得到：

$$
\begin{aligned}
&\sum \lambda_i = 6 + 2t > 0 \\
&\sum_{i < j} \lambda_i \lambda_j = 9 + 4t > 0 \\
&\lambda_1 \lambda_2 \lambda_3 = 4 > 0
\end{aligned}
$$

由于 $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ 均为正数，因此上述三个不等式等价于：

$$
\begin{aligned}
&\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 > 0 \\
&\lambda_1 \lambda_2 + \lambda_1 \lambda_3 + \lambda_2 \lambda_3 > 0 \\
&\lambda_1 \lambda_2 \lambda_3 > 0
\end{aligned}
$$

将 $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ 的值代入上述不等式中，可以得到：

$$
\begin{aligned}
&6 + 2t > 0 \\
&(1 - 2t)(3 - \lambda_1) + 2(1 - \lambda_1) > 0 \\
&\lambda_1 \lambda_2 \lambda_3 > 0
\end{aligned}
$$

化简第二个不等式，可以得到：

$$
\lambda_1 - 2t \lambda_1 + 2\lambda_1 > 5 - 2t
$$

即：

$$
\lambda_1 > \frac{5 - 2t}{\lambda_2 + 2\lambda_3 - 2t}
$$

因此，为了保证二次型矩阵为正定，需要满足：

$$
\begin{aligned}
&6 + 2t > 0 \\
&\frac{5 - 2t}{\lambda_2 + 2\lambda_3 - 2t} > 0 \\
&\lambda_1 \lambda_2 \lambda_3 > 0
\end{aligned}
$$

其中，$\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ 是方程 $\lambda^3 - (6 + 2t)\lambda^2 + (9 + 4t)\lambda - 4 = 0$ 的解。