弹簧阻尼系统状态空间模型

弹簧质量阻尼系统的状态空间模型
对于弹簧质量阻尼系统，其动态行为可以通过二阶微分方程描述。为了便于分析和设计控制器，通常会将其转化为状态空间表示形式。
状态变量的选择
选取位置 ( x ) 和速度 ( v ) 作为状态变量，则可以定义如下向量：
[
\mathbf{x}(t)=\begin{bmatrix}x(t)\v(t)\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}\text{位移}\ \text{速度}\end{bmatrix}
]
其中 ( t ) 表示时间[^1]。
输入与输出关系
假设外力 ( F_{ext}(t) ) 是输入信号；而输出可以选择为位移 ( y=x(t) )，即只观测物体的位置变化情况。
微分方程到矩阵形式的转换
根据牛顿第二定律得到运动方程式之后，通过引入适当的状态反馈项可得线性定常系统的标准形：
[
\dot{\mathbf{x}}(t)=A\cdot\mathbf{x}(t)+B\cdot u(t), \
y(t)=C\cdot\mathbf{x}(t),
]
这里，

( A=\left[\begin{array}{cc}0 & 1 \-\frac{k}{m}&-\frac{c}{m}\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{l}0 \ \frac{1}{m}\end{array}\right])
输出矩阵( C=[1,0 ]) ，代表仅测量第一个状态（即位移）

上述表达式构成了完整的状态空间模型。
% 定义参数 m,k,c (mass, spring constant,damping coefficient)
m = 1; % 千克
k = 4; % 牛/米
c = 0.8;% 牛秒/米

% 构造状态空间模型中的系数矩阵
A = [0 1;-k/m -c/m];
B = [0 ; 1/m ];
C = [1 0];

sys_ss = ss(A,B,C,[]);
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此部分展示了如何基于物理原理构建一个简单的机械振动系统的数学框架，并进一步说明了怎样利用MATLAB工具箱创建相应的对象实例以便后续开展更深入的研究工作，比如实施现代控制策略如MPC算法等。