在贝塞尔曲线中加一点，求这个点的控制点和前后控制点

在三次贝塞尔曲线中加入一个点需要重新计算控制点。假设原始的三次贝塞尔曲线由起点P0、控制点P1、控制点P2和终点P3组成，现在要在曲线上加入一个点P，我们需要计算出新的控制点P1'、P2'以及P0'和P3'。

首先，我们需要找到点P在曲线上的位置。可以使用de Casteljau算法在曲线上求出离点P最近的点Q。然后，我们可以将曲线分成两个部分，一部分是从P0到Q，另一部分是从Q到P3，每部分都是一个新的三次贝塞尔曲线。

接下来，我们需要计算新的控制点。对于新的控制点P1'，可以在P0、P1和Q之间取一个点，使得它们之间的曲线经过点P。类似地，对于新的控制点P2'，可以在Q、P2和P3之间取一个点，使得它们之间的曲线经过点P。

最后，我们需要计算新的起点和终点。新的起点P0'是原始曲线的起点P0，而新的终点P3'是原始曲线的终点P3。

需要注意的是，在计算新的控制点和新的起点和终点时，需要根据曲线的参数化方程进行计算。

以上就是在三次贝塞尔曲线中加入一个点的计算过程。

相关问题

在贝塞尔曲线中加一点，js求这个点的控制点和前后控制点

下面是在JavaScript中计算在三次贝塞尔曲线中加入一个点后的新控制点和起点、终点的代码示例：

function addPointToBezierCurve(point, p0, p1, p2, p3) {
  // Find the closest point Q on the curve to the new point P
  var q = findClosestPointOnBezierCurve(point, p0, p1, p2, p3);

  // Divide the curve into two parts at the point Q
  var curve1 = [p0, p1, q, point];
  var curve2 = [point, q, p2, p3];

  // Calculate new control points for the two curves
  var c1 = calculateControlPoints(curve1);
  var c2 = calculateControlPoints(curve2);

  // Return the new control points and start/end points
  return {
    p0: p0,
    p1: c1[1],
    p2: c2[0],
    p3: p3,
    newPointControlPoints: [c1[2], c2[1]]
  };
}

function findClosestPointOnBezierCurve(point, p0, p1, p2, p3) {
  // Use de Casteljau algorithm to find the closest point on the curve
  var t = 0.5;
  for (var i = 0; i < 10; i++) {
    var Q = deCasteljau(p0, p1, p2, p3, t);
    var tangent = subtractPoints(deCasteljau(p0, p1, p2, p3, t + 0.001), Q);
    var distance = distanceBetweenPoints(point, Q);
    if (distance < 0.1) {
      return Q;
    }
    t -= dotProduct(subtractPoints(Q, point), tangent) / Math.pow(magnitude(tangent), 2);
    t = Math.max(0, Math.min(1, t));
  }
  return deCasteljau(p0, p1, p2, p3, t);
}

function calculateControlPoints(curve) {
  // Calculate new control points for a curve that passes through the given points
  var p0 = curve[0];
  var p1 = curve[1];
  var p2 = curve[2];
  var p3 = curve[3];

  var d1 = subtractPoints(p1, p0);
  var d2 = subtractPoints(p2, p1);
  var d3 = subtractPoints(p3, p2);

  var a1 = magnitude(d1) / (magnitude(d1) + magnitude(d2));
  var a2 = magnitude(d2) / (magnitude(d2) + magnitude(d3));

  var b1 = addPoints(p1, scalePoint(d1, a2 / a1));
  var b2 = subtractPoints(p2, scalePoint(d3, (1 - a2) / (1 - a1)));

  var control1 = addPoints(b1, b2);
  var control2 = subtractPoints(b2, b1);

  return [p1, control1, control2];
}

function deCasteljau(p0, p1, p2, p3, t) {
  // Use de Casteljau algorithm to find the point on the curve at the given parameter t
  var q0 = interpolatePoints(p0, p1, t);
  var q1 = interpolatePoints(p1, p2, t);
  var q2 = interpolatePoints(p2, p3, t);
  var r0 = interpolatePoints(q0, q1, t);
  var r1 = interpolatePoints(q1, q2, t);
  var point = interpolatePoints(r0, r1, t);
  return point;
}

function subtractPoints(point1, point2) {
  return [point1[0] - point2[0], point1[1] - point2[1]];
}

function addPoints(point1, point2) {
  return [point1[0] + point2[0], point1[1] + point2[1]];
}

function scalePoint(point, scalar) {
  return [point[0] * scalar, point[1] * scalar];
}

function dotProduct(point1, point2) {
  return point1[0] * point2[0] + point1[1] * point2[1];
}

function magnitude(point) {
  return Math.sqrt(Math.pow(point[0], 2) + Math.pow(point[1], 2));
}

function distanceBetweenPoints(point1, point2) {
  var dx = point1[0] - point2[0];
  var dy = point1[1] - point2[1];
  return Math.sqrt(dx * dx + dy * dy);
}

function interpolatePoints(point1, point2, t) {
  return [point1[0] + (point2[0] - point1[0]) * t, point1[1] + (point2[1] - point1[1]) * t];
}

这段代码中的addPointToBezierCurve()函数接受五个参数：新点的坐标point和原始三次贝塞尔曲线的四个点p0、p1、p2、p3。它使用findClosestPointOnBezierCurve()函数找到离新点最近的点Q，然后将曲线分成两个部分，分别计算新的控制点和起点、终点。最后，函数返回新的控制点和起点、终点的坐标。

需要注意的是，这段代码中的计算方法可能不是最优的，因为在实际应用中，可能需要考虑更多的情况。但是，这段代码可以帮助你理解在三次贝塞尔曲线中加入一个点时，如何计算新的控制点和起点、终点。

java 求三次贝塞尔曲线的两个控制点

要求求解三次贝塞尔曲线的两个控制点，可以使用以下的方法：

1. 首先，确定起点（P0）、终点（P3）和一个中间点（P1）。
2. 然后，找到一个控制点（P2）来确定曲线的形状。

具体求解的步骤如下：

1. 确定起点和终点：根据具体情况，确定起点（P0）和终点（P3）。这两个点将确定曲线的起点和终点。

2. 确定中间点：根据起点（P0）和终点（P3），确定一个中间点（P1）。这个中间点将决定曲线的弯曲方向和程度。

3. 确定控制点：根据起点（P0）、终点（P3）和中间点（P1），求解控制点（P2）。控制点的坐标可以通过下面的公式计算得出：
P2 = (P1 - (P0 + P3)/4) * 2

通过以上的步骤，我们就可以求解得到三次贝塞尔曲线的两个控制点（P1和P2），然后就可以使用它们来绘制我们所需要的曲线。

需要注意的是，上述的方法只是其中的一种求解方式，具体问题的求解方法可能会有所不同。在实际应用中，也可以使用其他的方法，如根据不同需求使用数值优化算法来求解控制点。