adi求解二维热传导方程matlab

二维热传导方程可以表示为:

∂u/∂t = α(∂²u/∂x² + ∂²u/∂y²)

其中，u(x,y,t)表示温度分布，α为热扩散系数，t表示时间。

为了求解这个方程，我们可以使用有限差分法。具体步骤如下：

1. 将区域离散化为一个网格，将时间轴离散化为若干个时间步长。
2. 用差分代替偏导数，得到离散方程。
3. 利用初始条件和边界条件，求解出每个时间步长的温度分布。
4. 不断重复以上步骤，直到达到所需的时间步长和精度。

下面是一个用MATLAB求解二维热传导方程的示例代码：

% 定义初始条件和边界条件
u0 = zeros(101,101); % 初始温度都为0
u0(50,50) = 1; % 中心点温度为1
u0(1,:) = 0; u0(101,:) = 0; u0(:,1) = 0; u0(:,101) = 0; % 边界温度为0

% 定义参数
alpha = 0.01; % 热扩散系数
dx = 0.01; dy = 0.01; % 空间步长
dt = 0.001; % 时间步长
tmax = 0.1; % 最大时间

% 计算离散方程
nx = 101; ny = 101;
nt = floor(tmax/dt);
u = u0;
for n = 1:nt
    un = u;
    u(2:nx-1,2:ny-1) = un(2:nx-1,2:ny-1) + alpha*dt/dx^2*(un(3:nx,2:ny-1)-2*un(2:nx-1,2:ny-1)+un(1:nx-2,2:ny-1)) ...
        + alpha*dt/dy^2*(un(2:nx-1,3:ny)-2*un(2:nx-1,2:ny-1)+un(2:nx-1,1:ny-2));
end

% 绘制温度分布图像
x = linspace(0,1,nx);
y = linspace(0,1,ny);
[X,Y] = meshgrid(x,y);
surf(X,Y,u);
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('Temperature');

运行以上代码，即可得到二维热传导方程的温度分布图像。