二阶常系数。其次，微分方程虚根公式

二阶常系数线性微分方程是指其系数在方程的所有变量中都不随时间变化的形式。一般写作：

\[ a(t) \frac{d^2y}{dt^2} + b(t) \frac{dy}{dt} + c(t)y = f(t), \]

其中 \(a(t)\), \(b(t)\), 和 \(c(t)\) 都是只依赖于时间 \(t\) 的常数。如果 \(a(t)\), \(b(t)\), 和 \(c(t)\) 分别是常数，则它就简化为经典的二次型：

\[ ay'' + by' + cy = f. \]

对于复数根的情况，如果该方程的特征方程 \(ar^2 + br + c = 0\) 的解为两个共轭虚数 \(r_1\) 和 \(r_2\)，即 \(r_1 = r_2^* = -\frac{b}{2a} + i\frac{\sqrt{D}}{2a}\)，其中 \(D = b^2 - 4ac\) 是判别式，那么解可以表示为：

\[ y(t) = e^{rt}(A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t)), \]
其中 \(r = -\frac{b}{2a}\), \(\omega = \sqrt{\frac{D}{a}}\) 是虚部对应的角频率。

虚根公式表明，当方程有虚根时，其解会包含正弦和余弦函数的组合，这与实根的情况（例如简单振荡、指数增长或衰减）有所不同。