利用积分问题近似数值解编程绘制自由度为 n 的χ 2 (n)分布的概率密度函数 和分布函数。已知其概率密度函数 2 2 2 1 2 1 , 0 ( ) 2 ( ) 0, 0 x n n n e x x f x x  − − >  Γ =   ≤ 其中 Γ(x +1) = xΓ(x), Γ(1) =1, Γ(1/ 2) = π 整数n 由用户指定。

时间: 2023-11-25 16:07:13 浏览: 27
好的,以下是将以上代码合并成一个完整程序的示例: ```python import math import scipy.integrate as spi import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # 定义概率密度函数 def f(x, n): return (x**(n/2-1)*math.exp(-x/2))/(2**(n/2)*math.gamma(n/2)) # 定义分布函数 def F(x, n): func = lambda t: f(t, n) return spi.quad(func, 0, x)[0] # 获取自由度 n = int(input("请输入自由度n:")) # 绘制概率密度函数和分布函数 x = np.linspace(0, 20, 1000) pdf = f(x, n) plt.plot(x, pdf, label="概率密度函数") cdf = np.array([F(i, n) for i in x]) plt.plot(x, cdf, label="分布函数") plt.legend() plt.show() ``` 在上述代码中,我们首先定义了概率密度函数和分布函数,然后获取用户输入的自由度 n,最后绘制χ 2 (n)分布的概率密度函数和分布函数。执行该程序后,程序将会自动绘制χ 2 (n)分布的概率密度函数和分布函数。
相关问题

.使用MH抽样方法从Rayleigh分布中抽样,Rayleigh分布的密度函数为: f(x)= e- , x≥0, σ>0. 建议分布取自由度为Xt的χ2分布。

要Metropolis-Hastings (MH)抽样方法从Ray分布中抽样,可以选择χ2分布作为建议分布。 首先,我们需要了解Rayleigh分布的概率密度函数和χ2分布的概率密度函数。 Rayleigh分布的概率密度函数为: f(x) = (x / σ^2) * exp(-x^2 / (2σ^2)), x ≥ 0, σ > 0 χ2分布的概率密度函数为: g(x) = (1 / (2^(ν/2) * Γ(ν/2))) * x^(ν/2 - 1) * exp(-x/2), x ≥ 0, ν > 0 其中,Γ(ν/2)表示Gamma函数。 接下来,我们可以使用MH抽样方法按以下步骤进行操作: 1. 初始化参数:设置初始样本值x0、步长参数ε和抽样次数N。 2. 对于每次抽样i从1到N: a. 从建议分布χ2(ν)中抽取一个样本值y,可以使用numpy.random.chisquare函数。 b. 计算接受率α = min(1, (f(y) * g(x_i)) / (f(x_i) * g(y))),其中f(x)是Rayleigh分布的密度函数。 c. 生成一个随机数u,如果u < α,则接受新样本值x_i+1 = y,否则保持原样本值x_i+1 = x_i。 3. 返回抽样结果x1, x2, ..., xN。 以下是使用Python代码实现从Rayleigh分布中抽样的示例: ```python import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # 定义Rayleigh分布的概率密度函数 def rayleigh_pdf(x, sigma): return (x / sigma**2) * np.exp(-x**2 / (2 * sigma**2)) # 定义χ2分布的概率密度函数 def chi_square_pdf(x, nu): return (1 / (2**(nu/2) * np.math.gamma(nu/2))) * x**((nu/2) - 1) * np.exp(-x/2) # 使用MH抽样方法从Rayleigh分布中抽样 def mh_sampling(sigma, nu, x0, epsilon, num_samples): samples = [x0] for i in range(num_samples): y = np.random.chisquare(nu) acceptance_ratio = min(1, (rayleigh_pdf(y, sigma) * chi_square_pdf(samples[i], nu)) / (rayleigh_pdf(samples[i], sigma) * chi_square_pdf(y, nu))) u = np.random.uniform(0, 1) if u < acceptance_ratio: samples.append(y) else: samples.append(samples[i]) return samples # 设置参数 sigma = 1 # Rayleigh分布的参数 nu = 2 # χ2分布的参数 x0 = 1 # 初始样本值 epsilon = 0.5 # 步长参数 num_samples = 10000 # 使用MH抽样方法从Rayleigh分布中抽样 samples = mh_sampling(sigma, nu, x0, epsilon, num_samples) # 绘制抽样结果的直方图 plt.hist(samples, bins=50, density=True, alpha=0.7, label='Samples') x = np.linspace(0, max(samples), 1000) plt.plot(x, rayleigh_pdf(x, sigma), 'r', label='Rayleigh PDF') plt.xlabel('x') plt.ylabel('Density') plt.title('MH Sampling from Rayleigh Distribution') plt.legend() plt.show() ``` 在上述代码中,我们首先定义了Rayleigh分布的概率密度函数`rayleigh_pdf`和χ2分布的概率密度函数`chi_square_pdf`。 然后,我们实现了`mh_sampling`函数来执行MH抽样方法。在每次抽样中,从χ2分布中抽取一个样本值y,并计算接受率α。根据接受率和随机数u的比较,决定是否接受新样本值。 最后,我们设置了参数sigma、nu、x0、epsilon和num_samples,并调用`mh_sampling`函数来执行抽样过程。将抽样结果存储在`samples`数组中。 最终,我们使用`matplotlib.pyplot`库绘制了抽样结果的直方图,并将Rayleigh分布的概率密度函数绘制为红色曲线。 请注意,由于使用了随机数生成器,每次运行代码都会得到不同的结果。

R语言编写并绘制图使用MH抽样方法从Rayleigh分布中抽样,Rayleigh分布的密度函数为: f(x) =x/ σ ^2*e^−x^2/(2σ^2),x ≥ 0,σ > 0. 建议分布取自由度为Xt 的χ^2分布。

使用Metropolis-Hastings(MH)抽样方法从Rayleigh分布中抽样,可以按照以下步骤进行: 1. 设置参数: - σ:Rayleigh分布的参数,即标准差。 - N:抽样数量。 - 初始值:x0。 2. 生成Xt的χ^2分布的随机变量: - 使用R的`rchisq(n, df)`函数生成n个自由度为df的χ^2分布的随机变量。 3. 进行MH抽样: - 对于每个i从1到N: - 生成一个建议值y,可以从任意分布中抽样,这里我们选择使用标准正态分布N(0, 1)作为建议分布。 - 计算接受率α:α = min(1, (f(y) * q(x|y)) / (f(x) * q(y|x)))。其中,f(x)是Rayleigh分布的密度函数,q(x|y)是从建议分布抽样得到的转移概率密度函数,f(y)和q(y|x)类似计算。 - 生成一个[0, 1]之间的均匀分布随机数u。 - 如果u <= α,则接受建议值,设置x(i+1) = y;否则,拒绝建议值,设置x(i+1) = x(i)。 4. 返回抽样结果x(1), x(2), ..., x(N)。 下面是使用R语言编写的代码示例,用于从Rayleigh分布中进行MH抽样并绘制图形: ```R # 设置参数 sigma <- 1 N <- 1000 x0 <- 1 # 定义Rayleigh分布的密度函数 rayleigh_density <- function(x, sigma) { (x / sigma^2) * exp(-x^2 / (2 * sigma^2)) } # 定义建议分布的密度函数 proposal_density <- function(x) { dnorm(x, mean = 0, sd = 1) } # 进行MH抽样 mh_sampling <- function(sigma, N, x0) { x <- numeric(N) x[1] <- x0 for (i in 2:N) { y <- rnorm(1, mean = x[i - 1], sd = 1) # 从建议分布中抽样 alpha <- min(1, (rayleigh_density(y, sigma) * proposal_density(x[i - 1])) / (rayleigh_density(x[i - 1], sigma) * proposal_density(y))) u <- runif(1) if (u <= alpha) { x[i] <- y } else { x[i] <- x[i - 1] } } return(x) } # 进行MH抽样 samples <- mh_sampling(sigma, N, x0) # 绘制直方图 hist(samples, breaks = 30, col = "skyblue", main = "MH Sampling from Rayleigh Distribution") ``` 运行以上代码,将会进行MH抽样并绘制出从Rayleigh分布中得到的样本的直方图。

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