利用积分问题近似数值解编程绘制自由度为 n 的χ 2 (n)分布的概率密度函数 和分布函数。已知其概率密度函数 2 2 2 1 2 1 , 0 ( ) 2 ( ) 0, 0 x n n n e x x f x x − − > Γ = ≤ 其中 Γ(x +1) = xΓ(x), Γ(1) =1, Γ(1/ 2) = π 整数n 由用户指定。
时间: 2023-11-25 16:07:13 浏览: 27
好的,以下是将以上代码合并成一个完整程序的示例:
```python
import math
import scipy.integrate as spi
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 定义概率密度函数
def f(x, n):
return (x**(n/2-1)*math.exp(-x/2))/(2**(n/2)*math.gamma(n/2))
# 定义分布函数
def F(x, n):
func = lambda t: f(t, n)
return spi.quad(func, 0, x)[0]
# 获取自由度
n = int(input("请输入自由度n:"))
# 绘制概率密度函数和分布函数
x = np.linspace(0, 20, 1000)
pdf = f(x, n)
plt.plot(x, pdf, label="概率密度函数")
cdf = np.array([F(i, n) for i in x])
plt.plot(x, cdf, label="分布函数")
plt.legend()
plt.show()
```
在上述代码中,我们首先定义了概率密度函数和分布函数,然后获取用户输入的自由度 n,最后绘制χ 2 (n)分布的概率密度函数和分布函数。执行该程序后,程序将会自动绘制χ 2 (n)分布的概率密度函数和分布函数。
相关问题
.使用MH抽样方法从Rayleigh分布中抽样,Rayleigh分布的密度函数为: f(x)= e- , x≥0, σ>0. 建议分布取自由度为Xt的χ2分布。
要Metropolis-Hastings (MH)抽样方法从Ray分布中抽样,可以选择χ2分布作为建议分布。
首先,我们需要了解Rayleigh分布的概率密度函数和χ2分布的概率密度函数。
Rayleigh分布的概率密度函数为:
f(x) = (x / σ^2) * exp(-x^2 / (2σ^2)), x ≥ 0, σ > 0
χ2分布的概率密度函数为:
g(x) = (1 / (2^(ν/2) * Γ(ν/2))) * x^(ν/2 - 1) * exp(-x/2), x ≥ 0, ν > 0
其中,Γ(ν/2)表示Gamma函数。
接下来,我们可以使用MH抽样方法按以下步骤进行操作:
1. 初始化参数:设置初始样本值x0、步长参数ε和抽样次数N。
2. 对于每次抽样i从1到N:
a. 从建议分布χ2(ν)中抽取一个样本值y,可以使用numpy.random.chisquare函数。
b. 计算接受率α = min(1, (f(y) * g(x_i)) / (f(x_i) * g(y))),其中f(x)是Rayleigh分布的密度函数。
c. 生成一个随机数u,如果u < α,则接受新样本值x_i+1 = y,否则保持原样本值x_i+1 = x_i。
3. 返回抽样结果x1, x2, ..., xN。
以下是使用Python代码实现从Rayleigh分布中抽样的示例:
```python
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 定义Rayleigh分布的概率密度函数
def rayleigh_pdf(x, sigma):
return (x / sigma**2) * np.exp(-x**2 / (2 * sigma**2))
# 定义χ2分布的概率密度函数
def chi_square_pdf(x, nu):
return (1 / (2**(nu/2) * np.math.gamma(nu/2))) * x**((nu/2) - 1) * np.exp(-x/2)
# 使用MH抽样方法从Rayleigh分布中抽样
def mh_sampling(sigma, nu, x0, epsilon, num_samples):
samples = [x0]
for i in range(num_samples):
y = np.random.chisquare(nu)
acceptance_ratio = min(1, (rayleigh_pdf(y, sigma) * chi_square_pdf(samples[i], nu)) /
(rayleigh_pdf(samples[i], sigma) * chi_square_pdf(y, nu)))
u = np.random.uniform(0, 1)
if u < acceptance_ratio:
samples.append(y)
else:
samples.append(samples[i])
return samples
# 设置参数
sigma = 1 # Rayleigh分布的参数
nu = 2 # χ2分布的参数
x0 = 1 # 初始样本值
epsilon = 0.5 # 步长参数
num_samples = 10000
# 使用MH抽样方法从Rayleigh分布中抽样
samples = mh_sampling(sigma, nu, x0, epsilon, num_samples)
# 绘制抽样结果的直方图
plt.hist(samples, bins=50, density=True, alpha=0.7, label='Samples')
x = np.linspace(0, max(samples), 1000)
plt.plot(x, rayleigh_pdf(x, sigma), 'r', label='Rayleigh PDF')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('Density')
plt.title('MH Sampling from Rayleigh Distribution')
plt.legend()
plt.show()
```
在上述代码中,我们首先定义了Rayleigh分布的概率密度函数`rayleigh_pdf`和χ2分布的概率密度函数`chi_square_pdf`。
然后,我们实现了`mh_sampling`函数来执行MH抽样方法。在每次抽样中,从χ2分布中抽取一个样本值y,并计算接受率α。根据接受率和随机数u的比较,决定是否接受新样本值。
最后,我们设置了参数sigma、nu、x0、epsilon和num_samples,并调用`mh_sampling`函数来执行抽样过程。将抽样结果存储在`samples`数组中。
最终,我们使用`matplotlib.pyplot`库绘制了抽样结果的直方图,并将Rayleigh分布的概率密度函数绘制为红色曲线。
请注意,由于使用了随机数生成器,每次运行代码都会得到不同的结果。
R语言编写并绘制图使用MH抽样方法从Rayleigh分布中抽样,Rayleigh分布的密度函数为: f(x) =x/ σ ^2*e^−x^2/(2σ^2),x ≥ 0,σ > 0. 建议分布取自由度为Xt 的χ^2分布。
使用Metropolis-Hastings(MH)抽样方法从Rayleigh分布中抽样,可以按照以下步骤进行:
1. 设置参数:
- σ:Rayleigh分布的参数,即标准差。
- N:抽样数量。
- 初始值:x0。
2. 生成Xt的χ^2分布的随机变量:
- 使用R的`rchisq(n, df)`函数生成n个自由度为df的χ^2分布的随机变量。
3. 进行MH抽样:
- 对于每个i从1到N:
- 生成一个建议值y,可以从任意分布中抽样,这里我们选择使用标准正态分布N(0, 1)作为建议分布。
- 计算接受率α:α = min(1, (f(y) * q(x|y)) / (f(x) * q(y|x)))。其中,f(x)是Rayleigh分布的密度函数,q(x|y)是从建议分布抽样得到的转移概率密度函数,f(y)和q(y|x)类似计算。
- 生成一个[0, 1]之间的均匀分布随机数u。
- 如果u <= α,则接受建议值,设置x(i+1) = y;否则,拒绝建议值,设置x(i+1) = x(i)。
4. 返回抽样结果x(1), x(2), ..., x(N)。
下面是使用R语言编写的代码示例,用于从Rayleigh分布中进行MH抽样并绘制图形:
```R
# 设置参数
sigma <- 1
N <- 1000
x0 <- 1
# 定义Rayleigh分布的密度函数
rayleigh_density <- function(x, sigma) {
(x / sigma^2) * exp(-x^2 / (2 * sigma^2))
}
# 定义建议分布的密度函数
proposal_density <- function(x) {
dnorm(x, mean = 0, sd = 1)
}
# 进行MH抽样
mh_sampling <- function(sigma, N, x0) {
x <- numeric(N)
x[1] <- x0
for (i in 2:N) {
y <- rnorm(1, mean = x[i - 1], sd = 1) # 从建议分布中抽样
alpha <- min(1, (rayleigh_density(y, sigma) * proposal_density(x[i - 1])) /
(rayleigh_density(x[i - 1], sigma) * proposal_density(y)))
u <- runif(1)
if (u <= alpha) {
x[i] <- y
} else {
x[i] <- x[i - 1]
}
}
return(x)
}
# 进行MH抽样
samples <- mh_sampling(sigma, N, x0)
# 绘制直方图
hist(samples, breaks = 30, col = "skyblue", main = "MH Sampling from Rayleigh Distribution")
```
运行以上代码,将会进行MH抽样并绘制出从Rayleigh分布中得到的样本的直方图。