用梯形公式求dy/dx=8-3y,x范围为[1,2],y(1)=2,h=0.2

首先，用欧拉公式求解一步：

$$y_{i+1}=y_i+h\cdot f(x_i,y_i)$$

代入 $f(x,y)=8-3y$ 得：

$$y_{i+1}=y_i+0.2\cdot (8-3y_i)$$

当 $x=1,y=2$ 时，代入欧拉公式得：

$$y_1=2+0.2\cdot (8-3\cdot 2)=2.4$$

然后，用梯形公式迭代求解：

$$y_{i+1}=y_i+\frac{h}{2}\cdot(f(x_i,y_i)+f(x_{i+1},y_{i+1}))$$

代入 $f(x,y)=8-3y$ 得：

$$y_{i+1}=y_i+\frac{0.2}{2}\cdot(8-3y_i+8-3y_{i+1})$$

移项得：

$$3y_{i+1}+0.6y_i=2.4$$

当 $i=1$ 时，代入 $y_1=2.4$：

$$3y_2+0.6\cdot 2.4=2.4$$

解得：

$$y_2=2.753$$

同理可得 $y_3=3.155,y_4=3.555,y_5=3.95,y_6=4.34$。

因此，用梯形公式得到的数值解为 $y_1=2.4,y_2=2.753,y_3=3.155,y_4=3.555,y_5=3.95,y_6=4.34$。

相关问题

4. 计算二重积分∫∫e∧(-xy)dxdy。 (1) 若区域D=｛0≤x≤1，0≤y≤1｝试分别用复合辛普森公式（取n=4）及高斯求积公式（取n=4）求积分。 (2) 若区域D=｛(x∧2)+(y∧2)≤1:x≥0,y≥0｝用复合辛普森公式（取n=4）求此积分。

首先，让我们来分析这个问题。给定的是一个二维双变量的指数型积分，我们要使用两种数值积分方法：复合辛普森公式和高斯求积公式。这些方法通常用于估计在一个给定区域内的积分值。

(1) 对于矩形区域 D = {0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}：

- **复合辛普森公式**：该规则适用于对称区间上的连续函数，对于 n=4 (意味着8个子区间)，我们可以将其分割为四个矩形和两个三角形，然后应用辛普森法则（每个子区间为一个梯形和一个辛普森规则组合）。
- 辛普森公式要求函数在其区间内可导三次。由于 e^(-xy) 是平滑的，满足条件。
- 编写MATLAB代码时，我们需要定义一个辅助函数 `f(x, y)` 代表 e^(-xy)，然后使用 `quadl` 函数，传入 `f` 和边界 `[0, 1]` 的四倍。

function f = exponential_function(x, y)
    f = exp(-x*y);
end

% 使用复合辛普森公式（n=4）
interval = [0, 1];
quad_simpson = quadl(@(x, y) exponential_function(x, y), interval, 2); % n/2 subintervals for Simpson's rule

- **高斯求积公式**：这是一个更精确的方法，尤其适用于非对称或有奇异性的区域。同样取 n=4，这通常涉及到选择恰当的节点（也称为“质心”）和权重。我们可以通过 `integral2` 函数来实现。

gauss_nodes = gaussLegendreNodes(2); % 2-point Gauss-Legendre nodes for 1D integrals in each dimension
gauss_weights = gaussWeights(2); % corresponding weights

% Calculate the integral using Gaussian quadrature
integral_gauss = integral2(@(x, y) exponential_function(x, y), interval, interval, 'Weights', gauss_weights, 'Points', [gauss_nodes; gauss_nodes]);

(2) 对于圆域 D = {(x^2) + (y^2) ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0}：

- **复合辛普森公式**：在这种情况下，我们需要改变积分的范围和方法。由于是圆形区域，我们应该使用极坐标转换（r, theta），其中 r^2 = x^2 + y^2。然后将积分从直角坐标转换到极坐标。

   % Change to polar coordinates
   r = linspace(0, 1, 50); % More points for better approximation in circular region
   theta = linspace(0, pi, 50);

   [R, THETA] = meshgrid(r, theta);
   f_polar = @(r, th) exponential_function(r.*cos(th), r.*sin(th)); % Convert function to polar form

   % Simpson's rule for polar intervals
   simpson_polar = trapz(theta, trapz(r, f_polar(R, THETA), 'method', 'spline')); % Note: We use 'spline' method here as it works well with polar intervals.

请注意，上述代码中可能需要根据实际的误差控制进行调整（例如，增加节点数量、改变积分步长等）。对于数值积分，结果可能会因为浮点运算的精度而略有不同。

利⽤⼆维复化梯形公式与⼆维复化 Simpson 公式计算如下函数的⼆重积分：I u x y dxdy = (, ) òò uxy (, ) 0 J 1 J I u x y dxdy = (, ) òò uxy (, ) 0 0 1 cos( ) cos sin ( ). ( ( ) ( )) kr k i k u J kr k k J k iJ k + = - ， 其中 的极坐标形式： 其中 , 是第⼀类 Bessel 函数，Matlab 中取为 besselj(0,k)和 besselj(1,k)； 取 k=10,50,100。 利⽤ u 的实部或虚部作⼆重积分积分区域：Ω=[−0.5,0.5]×[−0.5,0.5]。 提⽰：（Matlab 中笛卡尔坐标系与极坐标系的转化） [phi,r] = cart2pol(x,y); phi = 2*pi*(phi<-eps)+phi; % This yields 0 <= phi < 2 pi 注：计算结果可与 Matlab ⾃带的 integral2 做对⽐。

很抱歉，我作为一个语言模型，无法进行具体的数学计算和编程操作。但是，我可以为您提供一些思路和方法，希望对您有所帮助。

首先，根据题目中给出的函数及其极坐标形式，可以将积分区域转化为极坐标系下的积分区域，即：

$$I=\int_{0}^{1}\int_{0}^{2\pi}u(r,\theta)r d\theta dr$$

然后，可以利用二维复化梯形公式和二维复化Simpson公式对函数进行数值积分。这里的复化梯形公式和复化Simpson公式与一维的情况类似，只是在积分区域上需要进行二维的划分和计算。

最后，可以利用Matlab中的integral2函数进行计算，并与自己编写的程序进行对比，验证计算结果的正确性。

需要注意的是，由于函数中包含Bessel函数，计算时需要调用Matlab中的besselj函数进行计算。并且，在将积分区域转化为极坐标系时，需要注意极角的范围，可以利用注释中给出的代码进行转换。