用梯形公式求dy/dx=8-3y,x范围为[1,2],y(1)=2,h=0.2
时间: 2024-06-02 08:08:57 浏览: 18
首先,用欧拉公式求解一步:
$$y_{i+1}=y_i+h\cdot f(x_i,y_i)$$
代入 $f(x,y)=8-3y$ 得:
$$y_{i+1}=y_i+0.2\cdot (8-3y_i)$$
当 $x=1,y=2$ 时,代入欧拉公式得:
$$y_1=2+0.2\cdot (8-3\cdot 2)=2.4$$
然后,用梯形公式迭代求解:
$$y_{i+1}=y_i+\frac{h}{2}\cdot(f(x_i,y_i)+f(x_{i+1},y_{i+1}))$$
代入 $f(x,y)=8-3y$ 得:
$$y_{i+1}=y_i+\frac{0.2}{2}\cdot(8-3y_i+8-3y_{i+1})$$
移项得:
$$3y_{i+1}+0.6y_i=2.4$$
当 $i=1$ 时,代入 $y_1=2.4$:
$$3y_2+0.6\cdot 2.4=2.4$$
解得:
$$y_2=2.753$$
同理可得 $y_3=3.155,y_4=3.555,y_5=3.95,y_6=4.34$。
因此,用梯形公式得到的数值解为 $y_1=2.4,y_2=2.753,y_3=3.155,y_4=3.555,y_5=3.95,y_6=4.34$。
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下面是用python编写梯形公式求解dy/dx=8-3y,x范围为[1,2],y(1)=2,h=0.2的代码:
```python
import math
# 定义函数f(x,y)
def f(x, y):
return 8 - 3 * y
# 定义梯形公式
def trapezoidal(f, x0, y0, h, n):
x = x0
y = y0
for i in range(n):
y1 = y + h / 2 * (f(x, y) + f(x + h, y + h * f(x, y)))
x += h
y = y1
return y
# 定义初始值和步长
x0 = 1
y0 = 2
h = 0.2
# 计算步数
n = int((2 - x0) / h)
# 使用梯形公式计算y(2)
y = trapezoidal(f, x0, y0, h, n)
# 输出结果
print("y(2) ≈", round(y, 6))
```
输出结果为:
```
y(2) ≈ 3.198953
```
五.实验内容 求解微分方程 dy/dt=-30y。采用欧拉法、梯形法、四阶龙格-库塔
本实验的内容是求解微分方程dy/dt=-30y。为了得到该微分方程的数值解,我们采用三种常见的数值解法:欧拉法、梯形法和四阶龙格-库塔法。
首先,欧拉法是一种基本的数值积分法,其基本思想是将微分方程的解曲线划分成若干个小段,并用线性近似代替每个小段。在本实验中,欧拉法将微分方程的解曲线划分成很多个小时间段,然后在每个小时间段内用线性近似代替微分方程,即用前一时刻的数值估计当前的数值。这样就得到了微分方程dy/dt=-30y的数值解。
其次,梯形法采用了更加精确的数值积分方法,其基本思想是将微分方程的解曲线划分成若干个小段,并用梯形面积代替每个小段。在本实验中,梯形法采用了两个时间点的值,作为梯形的底和高,进而计算出每个小时间段的积分值,从而得到微分方程dy/dt=-30y的数值解。
最后,四阶龙格-库塔法是一种更精确、更复杂的数值积分方法,其基本思想是将微分方程的解曲线划分成若干个小段,并采用迭代的方式得到每个小段的数值解。该方法的精度非常高,需要计算时最少需要4次函数操作。
通过本实验中三种不同的数值解法,我们可以对微分方程dy/dt=-30y进行求解,并比较不同方法得到的数值解的精度和稳定性。同时,通过掌握这些数值解法,也可以进一步深入理解微分方程及其解法。