不使用代码,手算如下矩阵的特征向量和特征值。 0 -2 -2 2 2 -2 -2 -2 2

手算矩阵的特征向量和特征值需要找到矩阵 \( A \) 对应于方程 \( |A - \lambda I| = 0 \) 的解，其中 \( I \) 是单位矩阵，\( \lambda \) 是特征值。

给定矩阵为：
\[ A = \begin{bmatrix} 0 & -2 & -2 \\ 2 & 2 & -2 \\ -2 & -2 & 2 \end{bmatrix} \]

计算 \( |A - \lambda I| \)，即：
\[ |A - \lambda I| = \left|\begin{matrix} 0-\lambda & -2 & -2 \\ 2 & 2-\lambda & -2 \\ -2 & -2 & 2-\lambda \end{matrix}\right| \]

展开行列式得：
\[ (0-\lambda)(2-\lambda)(2-\lambda) - (-2)(-2)(2) + 2(-2)(-2) - (-2)(2)(-2) - 2(-2)(2-\lambda) + 2(2)(-2-\lambda) \]

简化这个表达式，我们得到关于 \( \lambda \) 的三次方程：

\[ \lambda^3 - 8 = (\lambda - 2)^3 = 0 \]

因此，有一个特征值是 \( \lambda_1 = 2 \) 并有重数为3。这意味着矩阵有三个线性无关的特征向量对应这个特征值。

为了找到特征向量，我们选择任意一个线性无关的基础向量 \( v \)，然后求解方程组 \( (A - 2I)v = 0 \)。由于矩阵的对角线元素相等，我们可以尝试找到一个简单的特征向量，如 \( v = [1, 1, 1]^T \) 或 \( v = [1, 0, 0]^T \) 等，满足 \( Av = 2v \)。

请注意，对于其他两个特征值（如果存在），我们需要进一步分析方程组，这通常涉及到计算二次多项式的根。在这个特定的例子中，因为只有一个非平凡特征值，所以只需关注 \( \lambda = 2 \) 的情况即可。