校体操队到操场集合,排成每行2人,最后多出1人;排成每行3人,也多出1人;分别按每行排4,5,6人,都多出1人;当排成每行7人时,正好不多。求校体操队至少多少人?
时间: 2023-05-31 18:20:19 浏览: 178
### 回答1:
每行排成2人时,最后多出1人;
每行排成3人时,也多出1人;
分别按每行排成4、5、6人,都多出1人;
当排成7人时,刚好不多也不少。
求校体操队至少多少人?
根据最小公倍数和最大公约数的知识,可以得出可能的人数是:
2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 = 5040
2 × 3 × 4 × 5 × 6 = 720
2 × 3 × 4 × 5 = 120
2 × 3 × 4 = 24
2 × 3 = 6
7
根据题意,要求至少多少人,因此最小值应该是以上数字的最小公倍数,即 5040。所以校体操队至少应该有 5040 人。
### 回答2:
先假设校体操队有x人,根据题意可以列出以下方程组:
x ≡ 1 (mod 2)
x ≡ 1 (mod 3)
x ≡ 1 (mod 4)
x ≡ 1 (mod 5)
x ≡ 1 (mod 6)
x ≡ 0 (mod 7)
根据中国剩余定理,可以将这个方程组转化为以下形式:
x ≡ -1 (mod 2)
x ≡ -1 (mod 3)
x ≡ -1 (mod 4)
x ≡ -1 (mod 5)
x ≡ -1 (mod 6)
x ≡ 0 (mod 7)
然后使用逆元求解:
M_2 = 3×4×5×6×7, a_2 = -1, m_2 = M_2/2, x_2 ≡ m_2^-1 (mod 2),
M_3 = 2×4×5×6×7, a_3 = -1, m_3 = M_3/3, x_3 ≡ m_3^-1 (mod 3),
M_4 = 2×3×5×6×7, a_4 = -1, m_4 = M_4/4, x_4 ≡ m_4^-1 (mod 4),
M_5 = 2×3×4×6×7, a_5 = -1, m_5 = M_5/5, x_5 ≡ m_5^-1 (mod 5),
M_6 = 2×3×4×5×7, a_6 = -1, m_6 = M_6/6, x_6 ≡ m_6^-1 (mod 6),
M_7 = 2×3×4×5×6, a_7 = 0, m_7 = M_7/7, x_7 ≡ m_7^-1 (mod 7).
将以上的逆元带入方程:
x = (a_2×M_2×x_2 + a_3×M_3×x_3 + a_4×M_4×x_4 + a_5×M_5×x_5 + a_6×M_6×x_6 + a_7×M_7×x_7) % M,
得到x = 4207,因此校体操队至少有4207人。
### 回答3:
这道题是一道典型的“鸡兔同笼”问题,需要我们运用到代数方程的解法。
首先,假设校体操队有x个人。根据题意,我们可以列出下列方程:
x ≡ 1 (mod 2)
x ≡ 1 (mod 3)
x ≡ 1 (mod 4)
x ≡ 1 (mod 5)
x ≡ 1 (mod 6)
x ≡ 0 (mod 7)
其中,≡ 表示“同余”,即余数相同。比如,x ≡ 1 (mod 2) 就表示x除以二的余数为1。根据题意得知,排成每行7人时正好不多,因此需要满足x能够被7整除。
接下来,我们可以逐步求解这个方程组。根据第一个方程x ≡ 1 (mod 2),我们可以列出x = 2a + 1 的形式,其中a为任意正整数。再带入第二个方程x ≡ 1 (mod 3),可以得到2a ≡ 1 (mod 3),解得a ≡ 2 (mod 3)。因此,我们可以列出a = 3b + 2 的形式,其中b为任意正整数,进而得到x = 6b + 5。同理,带入后面的三个方程,可以得到b ≡ 2 (mod 4),b ≡ 1 (mod 5),b ≡ 3 (mod 6)。因此,我们可以列出b = 60c + 23 的形式,其中c为任意正整数,进而得到x = 360c + 143。最后,带回第六个方程x ≡ 0 (mod 7),可以得到c ≡ 6 (mod 7),因此c = 7d + 6,进而得到x = 2520d + 1003。因为d为任意正整数,所以校体操队至少有1003人。
综上所述,校体操队至少有1003人。