将第一部分选择题 1. 下列函数中，是奇函数的是（） A. $y=x^2+3$ B. $y=""sin(x)$ C. $y=2x$ D. $y=e^x$ 2. 函数 $f(x)=""begin{cases} x+1, & x""leq -1 """" x^2, & x>-1 ""end{cases}$ 在 $x=-1$ 处（） A. 连续但不可导 B. 不连续且不可导 C. 连续且可导 D. 不连续但可导 3. 数列 $""{a_n""}$ 满足 $a_n=(-1)^n""frac{n}{n+1}$，则 $""{a_n""}$ 的极限是（） A. $-""frac{1}{2}$ B. $""frac{1}{2}$ C. $1$ D. 不存在 4. 函数 $f(x)=""cos(x^2)$ 的导数是（） A. $-""sin(x^2)$ B. $-2x""sin(x^2)$ C. $2x""sin(x^2)$ D. $""sin(x^2)$ 5. 若 $""int_1^2 f(x)dx=3$，$""int_2^3 f(x)dx=-2$，则 $""int_1^3 f(x)dx$ 等于（） A. $-5$ B. $5$ C. $-1$ D. $1$ ## 第二部分简答题 1. 说明函数的单调性判别法。 2. 怎样求函数的极值和最值？ 3. 推导积分上限的函数的导数公式。 4. 如何利用定积分计算平面图形的面积？ ## 第三部分计算题 1. 求函数 $y=""sqrt{x^2+1}$ 的导数。 2. 计算 $""lim_{x""to 0}""frac{""sin(2x)}{""sqrt{1+x}-1}$。 3. 求 $""int x""ln x dx$。 4. 计算曲线 $y=x^2$ 在 $x""in[0,1]$ 上围成的图形的面积。 ## 参考答案 ### 选择题 1. B 2. A 3. D 4. B 5. A ### 简答题 1. 单调上升的充分必要条件是 $f'(x)>0$，单调下降的充分必要条件是 $f'(x)<0$。 2. 求极值的步骤： 1. 求出导数 $f'(x)$。 2. 解方程 $f'(x)=0$，得到可能的极值点。 3. 利用二阶导数 $f''(x)$ 判断每个可能的极值点是极大值、极小值还是不是极值。 4. 比较所有可能的极值点得到最大值和最小值。 3. 设 $F(x)=""int_a^x f(t)dt$，则 $F'(x)=f(x)$。 4. 曲线 $y=x^2$ 在 $x""in[0,1]$ 上围成的图形的面积为 $""int_0^1 x^2 dx=""frac{1}{3}$。 ### 计算题 1. $y'=""frac{x}{""sqrt{x^2+1}}$ 2. $2$ 3. $""frac{1}{2}x^2(""ln x-""frac{1}{2})+C$ 4. $""frac{1}{3}$翻译成Markdown

时间: 2023-05-18 19:06:14 浏览: 247

深圳中学2010届高考第一轮复习数学基础练习3 函数、集合、算法(含答案).doc

### 数学基础知识点详解 #### 一、选择题解析 **1. 集合的交集** 题目给出了两个集合$A = \{x | x > 2\}$和$B = \{x | x < 4\}$，求它们的交集$A \cap B$。 - **解析**： - $A$表示所有大于2的数。 - $B$表示所有小于4的数。 - 因此，它们的交集即同时满足大于2且小于4的数集，即$\{x | 2 < x < 4\}$。 - **答案**：(C)$\{x | 2 < x < 4\}$ **2. 集合中的元素个数** 已知函数$f(x) = \sqrt{x^2 - 1}$，求集合$\{x | f(x) = 0\}$中元素的个数。 - **解析**： - 当$f(x) = 0$时，有$\sqrt{x^2 - 1} = 0$，即$x^2 - 1 = 0$。 - 解得$x = \pm 1$。 - 但由于题目要求$f(x) = \sqrt{x^2 - 1}$的定义域，$x^2 - 1 \geq 0$，故$x = 1$为唯一解。 - **答案**：(B)1 **3. 奇函数的判断** 已知函数$f_1(x) = x^3 + x$，$f_2(x) = |x|$，$f_3(x) = \sin x$，$f_4(x) = \cos x$，判断其中奇函数的数量。 - **解析**： - 奇函数的定义为：对于所有定义域内的$x$，满足$f(-x) = -f(x)$。 - $f_1(x) = x^3 + x$，$f_1(-x) = (-x)^3 - x = -f_1(x)$，故$f_1(x)$是奇函数。 - $f_2(x) = |x|$，$f_2(-x) = |-x| = |x| = f_2(x)$，故$f_2(x)$不是奇函数。 - $f_3(x) = \sin x$，$\sin(-x) = -\sin x$，故$f_3(x)$是奇函数。 - $f_4(x) = \cos x$，$\cos(-x) = \cos x$，故$f_4(x)$不是奇函数。 - **答案**：(B)2个 **4. 减函数的取值范围** 已知函数$f(x) = ax^2 + bx + c$是区间$[1, +\infty)$上的减函数，求$a$的取值范围。 - **解析**： - 对于二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$，当$a < 0$时，开口向下，函数在定义域上单调递减。 - 题目要求函数在$[1, +\infty)$上单调递减，因此需满足$a < 0$。 - **答案**：(A)$a < 0$ **5. 函数的增长速度** 考虑函数$y = \frac{1}{x}$，$y = x^2$，$y = x$，$y = \ln x$，当$x > 1$时，使$\frac{dy}{dx} > 1$恒成立的函数个数。 - **解析**： - 分别计算每个函数的导数：$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right) = -\frac{1}{x^2}$，$\frac{d}{dx}(x^2) = 2x$，$\frac{d}{dx}(x) = 1$，$\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}$。 - 显然，只有$y = x^2$满足条件$\frac{dy}{dx} = 2x > 1$（当$x > 1$时）。 - **答案**：(B)1 **6. 不等式的解集** 若不等式$x^2 + (m-2)x + m > 0$对任意实数$x$都成立，求实数$m$的取值范围。 - **解析**： - 该不等式对任意实数$x$都成立，意味着判别式$\Delta < 0$。 - 即$(m-2)^2 - 4m < 0$，整理得到$m^2 - 8m + 4 < 0$。 - 通过求根公式解得$m$的取值范围为$(4 - 2\sqrt{3}, 4 + 2\sqrt{3})$。 - **答案**：(A)$(4 - 2\sqrt{3}, 4 + 2\sqrt{3})$ **7. 定义新运算** 在正实数集上定义运算$*$：当$a > b$时，$a * b = \frac{a}{b}$；当$a \leq b$时，$a * b = ab$。求方程$3 * x = 3$的解。 - **解析**： - 若$3 > x$，则$3 * x = \frac{3}{x} = 3$，解得$x = 1$。 - 若$3 \leq x$，则$3 * x = 3x = 3$，解得$x = 1$。 - 故方程的解为$x = 1$。 - **答案**：(C)3或3 **8. 函数的奇偶性** 函数$f(x) = \sin x$与$g(x) = \cos x$的定义域相同，且对于定义域中的任何$x$都有$f(x) + g(x) = 1$，已知方程$f(x) = g(x)$的解集是$\{\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}\}$，判断函数$f(x)$的奇偶性。 - **解析**： - 已知$f(x) + g(x) = 1$，结合$f(x) = g(x)$，可以推导出$2f(x) = 1$，即$f(x) = \frac{1}{2}$。 - 由于$\sin x = \frac{1}{2}$的解集中包含了$\frac{\pi}{4}$和$\frac{5\pi}{4}$，这两个点分别位于第一象限和第三象限，而$\sin x$在第一象限和第四象限均为正值，在第二象限和第三象限为负值，故$\sin x$既不是奇函数也不是偶函数。 - **答案**：(D)既不是奇函数也不是偶函数 #### 二、填空题解析 **9. 偶函数的性质** 已知$f(x)$是区间$[-\pi, \pi]$上的偶函数，且$f(x) = \sin x$，当$x \in [0, \pi]$时，求$f(-\pi)$的值。 - **解析**： - 偶函数的性质为$f(-x) = f(x)$。 - 已知$f(x) = \sin x$，当$x = \pi$时，$f(\pi) = \sin \pi = 0$。 - 因此，$f(-\pi) = f(\pi) = 0$。 - **答案**：0 **10. 函数的最大值** 已知函数$f(x) = x^2 + 2ax + a$，当$a = 1$时，函数在区间$[1, 2]$上的最大值为14，求实数$a$。 - **解析**： - 首先确定函数在给定区间内的最大值位置。函数$f(x) = x^2 + 2ax + a$的导数为$f'(x) = 2x + 2a$。 - 令$f'(x) = 0$，解得$x = -a$。 - 考虑区间$[1, 2]$，由于$a = 1$，则$x = -1$不在区间内，故最大值应在区间的端点处取得。 - 计算两端点处的函数值：$f(1) = 1 + 2 + 1 = 4$，$f(2) = 4 + 4 + 1 = 9$。 - 因此，$a = 1$时，最大值为9，不满足题目要求的最大值为14。 - 需要调整$a$使得最大值为14。 - 由题意知，$f(2) = 4 + 4a + a = 14$，解得$a = 2$。 - **答案**：2 **11. 函数图像的对称中心** 函数$f(x) = \tan x$的图像关于点$(\frac{\pi}{2}, 0)$对称。 - **解析**： - 函数$f(x) = \tan x$的周期为$\pi$，在每个周期内图像关于点$(\frac{\pi}{2}, 0)$对称。 - **答案**：$(\frac{\pi}{2}, 0)$ **12. 不等式的解集** 已知函数$f(x) = x^2$是区间$(-1, 1)$上的偶函数，且在$(0, 1)$上是减函数，若$f(a) = f(b)$，求不等式$a^2 < b^2$的解集。 - **解析**： - 由于$f(x) = x^2$是偶函数，所以$f(x) = f(-x)$。 - 给定$f(a) = f(b)$，即$a^2 = b^2$。 - 求解不等式$a^2 < b^2$，由$a^2 = b^2$可得$a^2 - b^2 < 0$，即$(a - b)(a + b) < 0$。 - 结合$a$和$b$的定义域，解得$a$和$b$分别位于$0$的两侧。 - **答案**：$\{(a, b) | a < 0, b > 0\}$ **13. 函数的单调递增区间** 函数$f(x) = e^x - x$的单调递增区间。 - **解析**： - 求函数的导数$f'(x) = e^x - 1$。 - 令$f'(x) > 0$，即$e^x - 1 > 0$，解得$x > 0$。 - **答案**：$(0, +\infty)$和$(-∞, 0)$ **14. 函数的性质** 已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$，下列命题中正确的有： - **解析**： - ①$f(x)$为奇函数的充要条件是$f(-x) = -f(x)$。计算$f(-x) = (-x)^3 - 3(-x)^2 + 3(-x) - 1 = -x^3 - 3x^2 - 3x - 1$，显然不满足条件，故①错误。 - ②$f(x)$图像关于$x = 1$对称。考虑到$f(x) = (x - 1)^3$，确实关于$x = 1$对称，故②正确。 - ③当$x > 1$时，方程$f(x) = 0$的解集一定非空。由于$f(x) = (x - 1)^3$，当$x > 1$时，$f(x) > 0$，方程无解，故③错误。 - ④方程$f(x) = 0$的解的个数为小于或等于3。由$f(x) = (x - 1)^3$可知，方程恰好有一个解，故④正确。 - **答案**：②④

1. 选B。因为奇函数的定义是$f(-x)=-f(x)$，而只有正弦函数满足这个条件。 2. 选D。因为当$x\leq1$时，$f(x)=x^2$，当$x>1$时，$f(x)=2x-1$，而$e^x$是一个连续函数，可以表示这个分段函数。

阅读全文

相关推荐

幂函数、指数函数与对数函数练习题及解析.pdf

中职高考对口考试一轮复习考试题(高教版数学第一至四章教学内容)-1页.pdf

宁夏六盘山高级2019届高三数学上学期第一次月考试题 理.doc

江西省宜春市宜丰县高一数学上学期第一次月考试题.doc

2021届广东省六校联盟高三第二次联考数学试题.pdf

2019-2020学年高一数学上学期期末联考试题及答案(新人教A版第53套).docx

黑龙江省双鸭山市第学2019 2020学年高一数学10月月考试题.doc

高2018届高一10月考试题(答案）.docx

贵阳市20152016学年度高一年级第一学期期末考试数学试卷超清晰版含答案.docx

2006年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷.理）.doc

电大高等数学基础考试答案完整版.pdf

2020高三数学文科期中考试试卷及答案.doc

串流分屏 - 两台笔记本电脑屏幕共享

tornado-6.3.2-cp38-abi3-musllinux_1_1_x86_64.whl

基于java的银行业务管理系统答辩PPT.pptx

TA_Lib轮子无需编译-TA_Lib-0.4.17-cp35-cp35m-win32.whl.zip

机器学习（大模型）：法律领域预训练的大型语言模型（LLM）微调而设计的数据集

农业信息化服务平台 SSM毕业设计 附带论文.zip

最新推荐

串流分屏 - 两台笔记本电脑屏幕共享

tornado-6.3.2-cp38-abi3-musllinux_1_1_x86_64.whl

基于java的银行业务管理系统答辩PPT.pptx

TA_Lib轮子无需编译-TA_Lib-0.4.17-cp35-cp35m-win32.whl.zip

机器学习（大模型）：法律领域预训练的大型语言模型（LLM）微调而设计的数据集

Aspose资源包：转PDF无水印学习工具

管理建模和仿真的文件

【R语言高性能计算秘诀】：代码优化，提升分析效率的专家级方法

在构建视频会议系统时，如何通过H.323协议实现音视频流的高效传输，并确保通信的稳定性？

Go语言控制台输入输出操作教程

宁夏六盘山高级2019届高三数学上学期第一次月考试题理.doc

农业信息化服务平台 SSM毕业设计附带论文.zip