s0=[1,2,1]^T s1=[1,0,-1]^T,s2=[1,-1,1]^T.(1)证明s0,s1,s2是正交的。(2)将上述3个向量归一化,并创建规范正交向量的变换矩阵。(3)计算f=[3,-6,5]^T的变换。(4)计算第(3)问结果的反变换。
时间: 2023-10-04 18:05:10 浏览: 28
(1) 要证明三个向量 s0=[1,2,1]^T, s1=[1,0,-1]^T, s2=[1,-1,1]^T 是正交的,需要证明它们两两内积为0。即:
s0·s1 = 1×1 + 2×0 + 1×(-1) = 0
s0·s2 = 1×1 + 2×(-1) + 1×1 = 0
s1·s2 = 1×1 + 0×(-1) + (-1)×1 = 0
因此,s0, s1, s2 是正交的。
(2) 将三个向量归一化,得到:
v0 = s0 / ||s0|| = [1/√6, 2/√6, 1/√6]^T
v1 = s1 / ||s1|| = [1/√2, 0, -1/√2]^T
v2 = s2 / ||s2|| = [1/√3, -1/√3, 1/√3]^T
其中,||s|| 表示向量 s 的模长。
按照 Gram-Schmidt 正交化过程,可以得到规范正交向量的变换矩阵:
Q = [v0, v1 - proj_v1_v0, v2 - proj_v2_v0 - proj_v2_v1]
其中,proj_v1_v0 表示向量 v1 在向量 v0 上的投影,proj_v2_v0 表示向量 v2 在向量 v0 上的投影,proj_v2_v1 表示向量 v2 在向量 v1 上的投影。显式计算可得:
proj_v1_v0 = (v1·v0) / (v0·v0) * v0 = (√6 / 6) * [1, 2, 1]^T
proj_v2_v0 = (v2·v0) / (v0·v0) * v0 = (√6 / 6) * [1, 2, 1]^T
proj_v2_v1 = (v2·(v1 - proj_v1_v0)) / ((v1 - proj_v1_v0)·(v1 - proj_v1_v0)) * (v1 - proj_v1_v0) = (-√2 / 6) * [1, 0, -1]^T
带入可得:
Q = [1/√6, 1/√2, 1/√3;
2/√6, 0, -1/√3;
1/√6, -1/√2, 1/√3]
(3) f=[3,-6,5]^T 的变换可以用 Q 进行变换,即:
Q·f = [v0·f, (v1-proj_v1_v0)·f, (v2-proj_v2_v0-proj_v2_v1)·f]^T
带入可得:
Q·f = [2√6/3, -√2/3, 5√3/3]^T
(4) 要计算第(3)问结果的反变换,可以使用 Q 的逆矩阵 Q^-1 进行变换,即:
f = Q^-1 · Q · f
Q 的逆矩阵可以通过求解三个向量的线性组合得到,即:
Q^-1 = [1/√6, 2/√6, 1/√6;
1/√2, 0, -1/√2;
1/√3, -1/√3, 1/√3]
带入可得:
f = [3, -6, 5]^T