写大学物理题，一质量为M的木块置于倔强系数为m的弹簧上, 系统处于静止状态, 一团质量为m的粘土自木块上方高处由静止自由下落。并与木块粘在一起运动。 试求: (1) 碰后瞬时系统的速度。(2) 木块的最大位移。(写明系统划分及势能零点)

系统划分：木块和弹簧为一个子系统，粘土为另一个子系统。

势能零点：选取粘土自由下落的位置为势能零点。

(1) 碰后瞬时系统的速度：

由机械能守恒可得：

$\frac{1}{2}mv^2 = mgH$

其中，$v$ 为碰后瞬时系统的速度，$H$ 为粘土自由下落的高度。

再考虑动量守恒，设碰后系统的速度为 $v'$，则有：

$(M+m)v' = mv$

将前式代入后式，可得：

$v' = \frac{2m}{M+m}\sqrt{gH}$

(2) 木块的最大位移：

当粘土附着在木块上运动时，木块和弹簧子系统的动能和势能都发生了改变。设木块的最大位移为 $x$，则有：

$\frac{1}{2}(M+m)v'^2 + \frac{1}{2}kx^2 = mgx$

其中，$k$ 为弹簧的弹性系数。

将前一问的结果代入上式，可得：

$\frac{1}{2}(M+m)\left(\frac{2m}{M+m}\sqrt{gH}\right)^2 + \frac{1}{2}kx^2 = mgx$

化简，得到：

$x^2 = \frac{2m^2gH}{k(M+m)}$

因此，木块的最大位移为：

$x = \sqrt{\frac{2m^2gH}{k(M+m)}}$

相关问题

写大学物理题，一质量为M的木块置于倔强系数为k的弹簧上, 系统处于静止状态, 一团质量为m的粘土自木块上方高处由静止自由下落。并与木块粘在一起运动。 试求: (1) 碰后瞬时系统的速度。(2) 木块的最大位移。(写明系统划分及势能零点)

系统划分：将木块和弹簧看做一个系统，将粘土看做另一个系统。

势能零点：将木块和弹簧系统的势能零点设为木块和弹簧分别处于自然长度时的弹性势能之和，即$U_{0}=\frac{1}{2}kx_0^2$，其中$x_0$为弹簧的自然长度；将粘土系统的势能零点设为粘土处于初始高度时的重力势能，即$U_{0}=mgh$，其中$h$为粘土的初始高度。

(1) 考虑质心系，由动量守恒可得：
$$
(M+m)v=Mv_{0}
$$
其中$v$为碰后瞬时系统的速度，$v_{0}$为粘土自由落体时的速度。因此，
$$
v=\frac{M}{M+m}v_{0}
$$

(2) 系统的总机械能守恒，因此系统的总机械能在碰撞前后保持不变，即$E=\frac{1}{2}(M+m)v^2+\frac{1}{2}kx^2=U_{0}+mgh$。当系统速度为零时，势能最大，即$E_{max}=U_{0}+mgh$。因此，系统的最大位移为：
$$
x_{max}=\sqrt{\frac{2}{k}\left(U_{0}+mgh-\frac{1}{2}(M+m)v_{0}^2\right)}
$$

注：在计算最大位移时，需注意此时的弹簧伸长量为$x_{max}-x_{0}$。

质量m、弹簧刚度k和阻尼c组成的一个单自由度二阶力学系统

质量m、弹簧刚度k和阻尼c组成的一个单自由度二阶力学系统是指系统中只有一个质点m与一个弹簧连接，并且在该弹簧两端还连接有一个阻尼装置。该系统可以用一个微分方程来描述其运动。

根据牛顿第二定律，质点的运动方程可以表示为：
m * d²x/dt² + c * dx/dt + k * x = 0

其中，x表示质点离开平衡位移的大小，t表示时间。左边的第一项是质量m对时间的二阶导数，表示惯性力；第二项是阻尼力，与速度成正比；第三项是弹性力，与位移成正比。

这个微分方程是一个二阶常微分方程，可以通过给定初值条件来求解。解的形式通常包括自由振动和强迫振动两种情况。自由振动是指系统在没有外力作用下的振动，其解是一个正弦函数或余弦函数。强迫振动是指系统在外力作用下的振动，其解与外力函数有关。

通过求解这个微分方程，我们可以得到系统的运动规律，包括振动频率、振幅以及相位等信息。这些信息对于工程设计中的动态响应分析和振动控制具有重要意义。

总之，质量m、弹簧刚度k和阻尼c组成的单自由度二阶力学系统是一种常见的物理模型，通过求解系统的运动微分方程可以获得其振动规律。这有助于我们理解和控制相关工程系统的动态响应特性。