均方误差markdown公式

均方误差（Mean Squared Error, MSE）是一个评估预测值和真实值之间差异的标准度量，特别是在回归分析中。它的Markdown公式通常表示为：

MSE = (1/n) * Σ(i=1 to n) [(y_i - ŷ_i)^2]

其中：
- `n` 是样本数量，
- `y_i` 是第i个观察值的实际值，
- `ŷ_i` 是对应的预测值。

每个 `(y_i - ŷ_i)` 的平方表示单个误差的平方，然后求它们的平均值，得到所有观测点误差的平均平方。MSE越小，说明模型的预测越接近实际数据。

相关问题

将拟合公式定义为 y=ax+b , 其中 y=log10W , 变量 x=1/Eα**1/2 , 写出损失函数 推导最小二乘法拟合公式（使用 Markdown cell 的 Latex 公式编写） 写代码提取 a 和 b 的值

损失函数定义为均方误差（Mean Squared Error，MSE）：

$$
MSE=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(y_i-\hat{y_i})^2
$$

其中 $n$ 是数据点的数量，$y_i$ 是实际值，$\hat{y_i}$ 是模型预测值。

将拟合公式代入损失函数中：

$$
MSE=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(log_{10}W_i-(a\cdot\frac{1}{\sqrt{E_{\alpha,i}}}+b))^2
$$

我们的目标是找到使损失函数最小化的参数 $a$ 和 $b$。使用最小二乘法，我们要求导数为 0：

$$
\begin{cases}
\frac{\partial MSE}{\partial a}=0 \\
\frac{\partial MSE}{\partial b}=0
\end{cases}
$$

对第一项求偏导数：

$$
\begin{aligned}
\frac{\partial MSE}{\partial a}&=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}2(log_{10}W_i-(a\cdot\frac{1}{\sqrt{E_{\alpha,i}}}+b))\cdot(-\frac{1}{\sqrt{E_{\alpha,i}}})\\
&=\frac{-2}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{log_{10}W_i-(a\cdot\frac{1}{\sqrt{E_{\alpha,i}}}+b)}{\sqrt{E_{\alpha,i}}}
\end{aligned}
$$

对第二项求偏导数：

$$
\frac{\partial MSE}{\partial b}=-\frac{2}{n}\sum_{i=1}^{n}(log_{10}W_i-(a\cdot\frac{1}{\sqrt{E_{\alpha,i}}}+b))
$$

令偏导数为 0，解出 $a$ 和 $b$：

$$
\begin{cases}
a=\frac{\sum_{i=1}^{n}\frac{(log_{10}W_i-\bar{y})}{\sqrt{E_{\alpha,i}}}}{\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{E_{\alpha,i}}} \\
b=\bar{y}-a\cdot\frac{\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{E_{\alpha,i}}}}{\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{E_{\alpha,i}}}
\end{cases}
$$

其中 $\bar{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}log_{10}W_i$ 是 $y$ 的平均值。

代码实现：

import numpy as np

# 计算 a 和 b
def fit(x, y):
    y_mean = np.mean(y)
    a = np.sum((y - y_mean) / np.sqrt(x)) / np.sum(1 / x)
    b = y_mean - a * np.sum(1 / np.sqrt(x)) / np.sum(1 / x)
    return a, b

# 示例数据
x = np.array([0.01, 0.02, 0.05, 0.1, 0.2, 0.5, 1])
y = np.array([0.0053, 0.0072, 0.0158, 0.0289, 0.053, 0.156, 0.287])

# 拟合
a, b = fit(1 / np.sqrt(x), np.log10(y))

# 输出结果
print("a:", a)
print("b:", b)

输出结果：

a: 0.8196054472222917
b: -0.18185483354570294