单源最短路径dijkstra算法

Dijkstra算法是一种解决单源最短路径问题的贪心算法。它的基本思想是，设置一个顶点集合S并不断地做贪心选择来扩充这个集合。一个顶点属于集合S当且仅当从源到该顶点的最短路径长度已知。初始时，S中仅含有源。设u是图G的一个顶点。把从源到u且中间只经过S中顶点的路称为从源到u的特殊路径，并用数组Distance记录当前每个顶点所对应的最短特殊路径长度。Dijkstra算法每次从V-S中取出具有最短特殊路长度的顶点u，将u加入S中，并对从源到V-S中每个顶点v的最短路径长度进行更新。重复执行n次后，Distance就记录了从源到所有其它顶点之间最短路径长度。

具体来说，Dijkstra算法的步骤如下：
1. 初始化Distance数组，将源点到所有点的距离初始化为无穷大，源点到自己的距离为0。
2. 将源点加入集合S中。
3. 对于源点的所有邻接点，更新它们到源点的距离。
4. 从V-S中选出距离源点最近的顶点u，将u加入集合S中。
5. 对于u的所有邻接点v，更新它们到源点的距离。
6. 重复步骤4和步骤5，直到所有顶点都被加入集合S中。

Dijkstra算法的时间复杂度为O(n^2)，其中n为图的顶点数。如果使用堆优化可以将时间复杂度降为O(mlogn)，其中m为图的边数。

相关问题

matlab实现单源最短路径dijkstra算法

以下是Matlab实现单源最短路径Dijkstra算法的示例代码：

function [dist, path] = dijkstra_algorithm(graph, start_node)
% graph: n*n的矩阵，表示有向图的邻接矩阵
% start_node: 起始节点
% dist: 1*n的向量，表示起始节点到各个节点的最短距离
% path: 1*n的向量，表示起始节点到各个节点的最短路径

n = size(graph, 1);
dist = inf(1, n); % 初始化距离为无穷大
path = zeros(1, n); % 初始化路径为0
visited = zeros(1, n); % 初始化所有节点为未访问

dist(start_node) = 0; % 起始节点到自身的距离为0

for i = 1:n
    min_dist = inf;
    min_node = -1;
    for j = 1:n
        if visited(j) == 0 && dist(j) < min_dist
            min_dist = dist(j);
            min_node = j;
        end
    end
    if min_node == -1
        break;
    end
    visited(min_node) = 1;
    for j = 1:n
        if visited(j) == 0 && graph(min_node, j) ~= inf && dist(min_node) + graph(min_node, j) < dist(j)
            dist(j) = dist(min_node) + graph(min_node, j);
            path(j) = min_node;
        end
    end
end

end

单源最短路径dijkstra算法时间复杂度和空间复杂度

Dijkstra算法是一种用于寻找图中两个节点之间最短路径的算法，它在解决单源最短路径问题时表现出高效性。以下是Dijkstra算法的时间复杂度和空间复杂度：

**时间复杂度**：
- Dijkstra算法的主要操作是贪心选择当前未标记的最小权重边，然后更新与该边相连的所有节点的距离。在最坏的情况下，每一步都需要遍历图中所有的已检查节点（用一个优先队列存储），这个过程大约需要对每个节点进行一次。如果图中的节点数为n，边的数量为m，假设每次查找队列中的最小元素的时间复杂度为O(log n)，因为通常使用优先队列实现，如二叉堆。那么总的迭代次数不会超过n（因为到所有节点都会被处理）。因此，总的时间复杂度是O((m+n)log n)。

**空间复杂度**：
- Dijkstra算法主要需要额外的空间来存储距离数组（大小为n，存储从起点到每个节点的最短距离）、已访问集合（同样大小为n）以及优先队列（取决于实现，但常用的数据结构如二叉堆空间复杂度为O(log n)）。所以，空间复杂度为O(n + log n)。