单源最短路径（Dijkstra算法）

Dijkstra算法是解决单源最短路径问题的经典算法。该算法的基本思想是从源点出发，按照距离递增的顺序逐步扩展最短路径的范围，直到覆盖所有点为止。

具体步骤如下：

1. 初始化：将源点到各个顶点的距离初始化为无穷大，将源点到自身的距离初始化为0。

2. 选取源点：从未确定最短路径的顶点中选取距离最小的顶点作为当前扩展的顶点。

3. 更新距离：对与当前顶点相邻的顶点，更新其到源点的距离（如果当前路径长度加上该边的长度比已知的路径长度小，则更新该点的距离）。

4. 标记顶点：将当前顶点标记为已确定最短路径的顶点。

5. 重复执行2-4步，直到所有顶点都被标记为已确定最短路径的顶点。

最终，源点到所有顶点的最短路径长度就被确定下来了。

Dijkstra算法的时间复杂度为O(ElogV)，其中E为边数，V为顶点数。该算法常用于计算网络路由、地图导航等问题。

相关问题

单源最短路径dijkstra算法

Dijkstra算法是一种解决单源最短路径问题的贪心算法。它的基本思想是，设置一个顶点集合S并不断地做贪心选择来扩充这个集合。一个顶点属于集合S当且仅当从源到该顶点的最短路径长度已知。初始时，S中仅含有源。设u是图G的一个顶点。把从源到u且中间只经过S中顶点的路称为从源到u的特殊路径，并用数组Distance记录当前每个顶点所对应的最短特殊路径长度。Dijkstra算法每次从V-S中取出具有最短特殊路长度的顶点u，将u加入S中，并对从源到V-S中每个顶点v的最短路径长度进行更新。重复执行n次后，Distance就记录了从源到所有其它顶点之间最短路径长度。

具体来说，Dijkstra算法的步骤如下：
1. 初始化Distance数组，将源点到所有点的距离初始化为无穷大，源点到自己的距离为0。
2. 将源点加入集合S中。
3. 对于源点的所有邻接点，更新它们到源点的距离。
4. 从V-S中选出距离源点最近的顶点u，将u加入集合S中。
5. 对于u的所有邻接点v，更新它们到源点的距离。
6. 重复步骤4和步骤5，直到所有顶点都被加入集合S中。

Dijkstra算法的时间复杂度为O(n^2)，其中n为图的顶点数。如果使用堆优化可以将时间复杂度降为O(mlogn)，其中m为图的边数。

matlab实现单源最短路径dijkstra算法

以下是Matlab实现单源最短路径Dijkstra算法的示例代码：

function [dist, path] = dijkstra_algorithm(graph, start_node)
% graph: n*n的矩阵，表示有向图的邻接矩阵
% start_node: 起始节点
% dist: 1*n的向量，表示起始节点到各个节点的最短距离
% path: 1*n的向量，表示起始节点到各个节点的最短路径

n = size(graph, 1);
dist = inf(1, n); % 初始化距离为无穷大
path = zeros(1, n); % 初始化路径为0
visited = zeros(1, n); % 初始化所有节点为未访问

dist(start_node) = 0; % 起始节点到自身的距离为0

for i = 1:n
    min_dist = inf;
    min_node = -1;
    for j = 1:n
        if visited(j) == 0 && dist(j) < min_dist
            min_dist = dist(j);
            min_node = j;
        end
    end
    if min_node == -1
        break;
    end
    visited(min_node) = 1;
    for j = 1:n
        if visited(j) == 0 && graph(min_node, j) ~= inf && dist(min_node) + graph(min_node, j) < dist(j)
            dist(j) = dist(min_node) + graph(min_node, j);
            path(j) = min_node;
        end
    end
end

end