单源最短路径dijkstra算法时间复杂度和空间复杂度

Dijkstra算法是一种用于寻找图中两个节点之间最短路径的算法，它在解决单源最短路径问题时表现出高效性。以下是Dijkstra算法的时间复杂度和空间复杂度：

**时间复杂度**：
- Dijkstra算法的主要操作是贪心选择当前未标记的最小权重边，然后更新与该边相连的所有节点的距离。在最坏的情况下，每一步都需要遍历图中所有的已检查节点（用一个优先队列存储），这个过程大约需要对每个节点进行一次。如果图中的节点数为n，边的数量为m，假设每次查找队列中的最小元素的时间复杂度为O(log n)，因为通常使用优先队列实现，如二叉堆。那么总的迭代次数不会超过n（因为到所有节点都会被处理）。因此，总的时间复杂度是O((m+n)log n)。

**空间复杂度**：
- Dijkstra算法主要需要额外的空间来存储距离数组（大小为n，存储从起点到每个节点的最短距离）、已访问集合（同样大小为n）以及优先队列（取决于实现，但常用的数据结构如二叉堆空间复杂度为O(log n)）。所以，空间复杂度为O(n + log n)。

相关问题

单源最短路径dijkstra时间复杂度

Dijkstra算法是一种用于寻找图中两点之间最短路径的经典算法。其基本思想是从起点开始，逐步更新每个未访问节点的最短距离，直到找到所有可达节点的最短路径。Dijkstra算法的时间复杂度主要取决于数据结构的选择和图的特性。

在一个边数为 \( n \)、顶点间边的数量为 \( m \)，并且邻接矩阵表示的图中，Dijkstra算法通常有以下几个步骤：
1. 初始化：O(n)
2. 主循环：每次迭代都会访问一个新节点，最坏情况下需要访问所有的节点。每一步涉及查找最小权重的邻居并更新距离，这在最坏情况下可能是从当前已知最短路径到图中所有其他节点的距离，所以这是O(m + n log n)操作，因为每次迭代都需要对所有边做一次线性搜索，并在找到新最短路径时可能需要插入优先队列（如二叉堆），这个操作大约是O(log n)。
3. 结束时，可能会有一次额外的遍历以确定是否存在未发现的更短路径，但这通常可以忽略，因为它不会显著增加总时间。

因此，整体上看，Dijkstra算法的平均时间复杂度是O((m + n)log n)，但在稠密图中（即m接近于n²），实际运行时间可能接近O(m^2)，这是因为边查询频繁导致了较高的开销。

单源最短路径dijkstra算法

Dijkstra算法是一种解决单源最短路径问题的贪心算法。它的基本思想是，设置一个顶点集合S并不断地做贪心选择来扩充这个集合。一个顶点属于集合S当且仅当从源到该顶点的最短路径长度已知。初始时，S中仅含有源。设u是图G的一个顶点。把从源到u且中间只经过S中顶点的路称为从源到u的特殊路径，并用数组Distance记录当前每个顶点所对应的最短特殊路径长度。Dijkstra算法每次从V-S中取出具有最短特殊路长度的顶点u，将u加入S中，并对从源到V-S中每个顶点v的最短路径长度进行更新。重复执行n次后，Distance就记录了从源到所有其它顶点之间最短路径长度。

具体来说，Dijkstra算法的步骤如下：
1. 初始化Distance数组，将源点到所有点的距离初始化为无穷大，源点到自己的距离为0。
2. 将源点加入集合S中。
3. 对于源点的所有邻接点，更新它们到源点的距离。
4. 从V-S中选出距离源点最近的顶点u，将u加入集合S中。
5. 对于u的所有邻接点v，更新它们到源点的距离。
6. 重复步骤4和步骤5，直到所有顶点都被加入集合S中。

Dijkstra算法的时间复杂度为O(n^2)，其中n为图的顶点数。如果使用堆优化可以将时间复杂度降为O(mlogn)，其中m为图的边数。