建立二叉排序树的时间复杂度

建立二叉排序树的时间复杂度主要取决于插入操作，因为在二叉排序树中，新节点通常会被插入到适当的位置以保持树的有序性。在最好情况下，如果每次插入都恰好将树分为两半，形成完全平衡的二叉搜索树（如AVL树或红黑树），时间复杂度为O(log n)。这是因为对于每层，查找插入位置最多需要比较log2(n)，其中n是当前节点数量。

然而，在最坏的情况下，如果插入顺序导致树退化成链表，即每个节点只有一个子节点，时间复杂度就会变为O(n)，因为每次插入都需要访问所有的节点才能找到正确位置。

平均情况下，如果插入是随机的，二叉排序树的性能接近于最坏情况，但不是严格如此，因为平衡性可以通过旋转等方法在一定程度上维护。

相关问题

建立二叉排序树以及进行查找、插入、删除等操作的算法的代码

以下是基于C++语言的二叉排序树的实现：

#include<iostream>
using namespace std;

//定义二叉树结点结构
struct TreeNode {
    int data;
    TreeNode* left;
    TreeNode* right;
};

//初始化根节点为空
TreeNode* root = nullptr;

//插入节点
void insertNode(int value) {
    //如果根节点为空，则创建一个新节点作为根节点
    if (root == nullptr) {
        root = new TreeNode;
        root->data = value;
        root->left = nullptr;
        root->right = nullptr;
        return;
    }
    //否则遍历树，找到合适的位置插入新节点
    TreeNode* node = root;
    while (node != nullptr) {
        if (value < node->data) {
            if (node->left == nullptr) {
                node->left = new TreeNode;
                node->left->data = value;
                node->left->left = nullptr;
                node->left->right = nullptr;
                return;
            }
            else {
                node = node->left;
            }
        }
        else {
            if (node->right == nullptr) {
                node->right = new TreeNode;
                node->right->data = value;
                node->right->left = nullptr;
                node->right->right = nullptr;
                return;
            }
            else {
                node = node->right;
            }
        }
    }
}

//查找节点
TreeNode* searchNode(int value) {
    TreeNode* node = root;
    while (node != nullptr) {
        if (node->data == value) {
            return node;
        }
        else if (value < node->data) {
            node = node->left;
        }
        else {
            node = node->right;
        }
    }
    return nullptr;
}

//删除节点
void deleteNode(int value) {
    //查找要删除的节点
    TreeNode* node = root;
    TreeNode* parentNode = nullptr;
    while (node != nullptr) {
        if (node->data == value) {
            break;
        }
        else if (value < node->data) {
            parentNode = node;
            node = node->left;
        }
        else {
            parentNode = node;
            node = node->right;
        }
    }
    //如果未找到要删除的节点，则直接返回
    if (node == nullptr) {
        return;
    }
    //如果要删除的节点有两个子节点
    if (node->left != nullptr && node->right != nullptr) {
        //查找右子树中最小的节点
        TreeNode* minNode = node->right;
        TreeNode* minParentNode = node;
        while (minNode->left != nullptr) {
            minParentNode = minNode;
            minNode = minNode->left;
        }
        //将右子树中最小的节点的值赋给要删除的节点
        node->data = minNode->data;
        //将要删除的节点变为右子树中最小的节点
        node = minNode;
        parentNode = minParentNode;
    }
    //如果要删除的节点只有一个子节点或者没有子节点
    TreeNode* childNode = nullptr;
    if (node->left != nullptr) {
        childNode = node->left;
    }
    else if (node->right != nullptr) {
        childNode = node->right;
    }
    //如果要删除的节点没有子节点，则将其父节点的对应子节点指针设为nullptr
    if (childNode == nullptr) {
        if (parentNode == nullptr) {
            root = nullptr;
        }
        else if (node == parentNode->left) {
            parentNode->left = nullptr;
        }
        else {
            parentNode->right = nullptr;
        }
        delete node;
    }
    //如果要删除的节点只有一个子节点，则将其父节点的对应子节点指针设为其子节点
    else {
        if (parentNode == nullptr) {
            root = childNode;
        }
        else if (node == parentNode->left) {
            parentNode->left = childNode;
        }
        else {
            parentNode->right = childNode;
        }
        delete node;
    }
}

//中序遍历
void inorderTraversal(TreeNode* node) {
    if (node == nullptr) {
        return;
    }
    inorderTraversal(node->left);
    cout << node->data << " ";
    inorderTraversal(node->right);
}

int main() {
    insertNode(5);
    insertNode(3);
    insertNode(7);
    insertNode(1);
    insertNode(9);
    insertNode(4);
    insertNode(2);
    
    cout << "中序遍历结果为：";
    inorderTraversal(root);
    cout << endl;
    
    TreeNode* node = searchNode(7);
    if (node != nullptr) {
        cout << "查找结果：" << node->data << endl;
    }
    else {
        cout << "未找到该节点" << endl;
    }
    
    deleteNode(5);
    cout << "删除节点后中序遍历结果为：";
    inorderTraversal(root);
    cout << endl;
    
    return 0;
}

以上代码实现了二叉排序树的插入节点、查找节点、删除节点和中序遍历等操作。其中，插入节点和删除节点的实现都需要遍历整棵树，时间复杂度为O(log n)。而查找节点的时间复杂度也为O(log n)。

二叉排序树建立与查找

二叉排序树的建立已经在上一个问题中介绍过了，这里给出二叉排序树的查找操作。

二叉排序树的查找操作也很简单，基本思路就是从根节点开始，逐个比较节点的值，直到找到目标节点或者遍历到叶子节点为止。

代码实现如下：

// 在二叉排序树中查找指定值
TreeNode* searchBST(TreeNode* root, int val) {
    if (!root) return NULL;
    if (root->val == val) return root;
    if (val < root->val) {
        return searchBST(root->left, val);
    } else {
        return searchBST(root->right, val);
    }
}

其中，searchBST 函数接收一个二叉排序树的根节点 root 和一个目标值 val，返回值为指向目标节点的指针。如果找不到目标节点，返回 NULL。

需要注意的是，这里的查找操作是基于二叉排序树的性质进行的，因此时间复杂度为 O(log n)，其中 n 为节点个数。当二叉排序树退化为链表时，查找操作最坏情况下会达到 O(n) 的时间复杂度。因此，在实际应用中，我们需要对二叉排序树进行平衡处理，以保证其效率。