艾特肯-斯特芬森迭代公式推导

艾特肯-斯特芬森迭代公式是一种用于数值计算的迭代方法，用于求解非线性方程的根。它是通过对函数在给定点的近似值进行不断修正来逼近方程的根。

推导艾特肯-斯特芬森迭代公式的过程如下：

假设要求解方程 f(x) = 0 的根，初始点为 x0。首先，我们需要选择两个步长 h1 和 h2，然后可以得到三个近似点：

x1 = x0 + h1
x2 = x0 + h2

接下来，我们可以使用泰勒级数展开来近似函数 f(x) 在这三个点的值：

f(x1) = f(x0 + h1) ≈ f(x0) + h1f'(x0) + (h1^2/2)f''(x0) + ...
f(x2) = f(x0 + h2) ≈ f(x0) + h2f'(x0) + (h2^2/2)f''(x0) + ...

然后，我们可以将这两个近似式相加，并且忽略高阶项，得到一个近似方程：

f(x1) + f(x2) ≈ 2f(x0) + (h1^2/2)f''(x0) + (h2^2/2)f''(x0)

由于我们的目标是求解 f(x) = 0 的根，所以我们可以将上述近似方程中的 f(x1) 和 f(x2) 替换为 0，得到：

2f(x0) + (h1^2/2)f''(x0) + (h2^2/2)f''(x0) = 0

然后，我们可以解这个方程，得到一个修正项：

f''(x0) ≈ -2f(x0) / (h1^2 + h2^2)

最后，我们可以将这个修正项代入到 x1 和 x2 的表达式中，得到艾特肯-斯特芬森迭代公式：

x1 = x0 + h1 - (h1^2/2)f''(x0)
x2 = x0 + h2 - (h2^2/2)f''(x0)

这样，我们就得到了艾特肯-斯特芬森迭代公式。