传递函数和微分方程的转换

### 控制系统中传递函数与微分方程之间的相互转换

#### 从传递函数到微分方程的转换

对于线性定常系统，在零初始条件下，传递函数定义为输出象函数 \( X_0(s) \) 与输入象函数 \( X_i(s) \) 的比值，记作 \( G(s) = \frac{X_0(s)}{X_i(s)} \)[^2]。

假设给定一个简单的二阶系统的传递函数：

\[ G(s) = \frac{s + b}{s^2 + as + c} \]

为了将其转换成微分方程形式，可以按照以下方式操作。首先写出对应的S域表达式:

\[ Y(s)(s^2 + as + c)=U(s)(s+b) \]

其中\( U(s) \)代表输入信号的Laplace变换，而\( Y(s) \)则是输出响应的Laplace变换。通过逆向应用拉普拉斯变换可得时域内的关系式即微分方程：

\[ y''(t)+ay'(t)+cy(t)=u'(t)+bu(t) \][^1]

这里需要注意的是系数a,b,c分别对应于原传递函数中的参数。

#### Python代码实现示例
下面给出一段Python代码用于展示上述过程：

from sympy import symbols, Function, laplace_transform, inverse_laplace_transform

# 定义符号变量
t, s = symbols('t s')
b, a, c = symbols('b a c', real=True)

# 输入和输出的时间函数以及它们的拉普拉斯变换后的版本
u_t = Function('u')(t)
y_t = Function('y')(t)
Y_s = (s + b)/(s**2 + a*s + c)*laplace_transform(u_t, t, s)[0]

# 将得到的结果做逆拉普拉斯变换回到时间域
diff_eqn = inverse_laplace_transform(Y_s, s, t).doit()
print(diff_eqn.expand())