如何证明一个闭区间上的连续函数具有最大最小值定理？请结合定义域和函数特性进行解释。

闭区间上连续函数的最大最小值定理是高等数学中的一个基本定理，表明在闭区间[a, b]上的连续函数必定在该区间上达到其最大值和最小值。为了深入理解这一定理，你可以参考《专升本高数学习笔记：第一章 函数，极限与连续性解析》这本书籍，其中详细讲解了连续函数的相关概念和定理证明方法。

参考资源链接：[专升本高数学习笔记：第一章 函数，极限与连续性解析](https://wenku.csdn.net/doc/12hopj6sfe?spm=1055.2569.3001.10343)

证明一个闭区间[a, b]上的连续函数f(x)具有最大最小值定理，首先需要明确连续性的定义：如果对于任意的ε>0，都存在δ>0，使得当|x - c|<δ时，有|f(x) - f(c)|<ε，其中c是区间[a, b]上的任意一点，那么函数f(x)在点c连续。在闭区间[a, b]上，连续函数的定义域包含了区间内的所有点。

函数的连续性确保了函数在闭区间内不会出现断点或跳跃，从而保证了函数值的连续变化。根据闭区间上连续函数的性质，我们可以推断出函数在该区间上必有界。结合有界性和单调性的概念，我们可以进一步证明函数在闭区间上必能达到其上确界和下确界，即函数在闭区间[a, b]上必定存在最大值和最小值。

具体证明步骤如下：

1. 根据函数在闭区间[a, b]上连续的性质，函数f(x)在区间[a, b]上是上界和下界存在的。

2. 设M为f(x)在区间[a, b]上的一个上界，m为f(x)的一个下界，即对于区间[a, b]内所有的x，有m ≤ f(x) ≤ M。

3. 因为f(x)在[a, b]上连续，所以f(x)在区间上的任意点c有极限等于函数值，即lim(x→c)f(x) = f(c)。

4. 由于M是上界，那么对于任意给定的ε>0，存在δ>0，当|x - c|<δ时，有f(x) - f(c) < ε，即f(x) < f(c) + ε。

5. 因为ε是任意的，可以取足够小，使得f(c) + ε仍然小于或等于M，这样就可以确保在区间[a, b]上存在某点，使得f(x)达到最大值M。

6. 同理可以证明存在最小值m。

综上所述，闭区间[a, b]上的连续函数f(x)必定在该区间上达到其最大值和最小值，这正是闭区间上连续函数的最大最小值定理。通过阅读《专升本高数学习笔记：第一章 函数，极限与连续性解析》可以进一步加强对这一定理的理解，并通过书中提供的例题来巩固所学知识。

参考资源链接：[专升本高数学习笔记：第一章 函数，极限与连续性解析](https://wenku.csdn.net/doc/12hopj6sfe?spm=1055.2569.3001.10343)