高等数学—微积分(1)：连续函数的性质和运算

# 1. 引言

## 1. 研究背景和意义

在数学中，连续函数是一类非常重要的函数类型，其在实际问题中有着广泛的应用。通过对连续函数进行深入的研究和探讨，可以帮助我们更好地理解函数的性质和行为规律，为实际问题的求解提供数学工具和方法。因此，对连续函数的定义、性质、运算法则以及极限、中值定理和最值定理等方面进行系统的学习和总结，对于提高数学建模和问题求解能力具有重要的意义。

## 2. 目的和结构概述

本文旨在系统阐述连续函数的基本概念、定义、性质及相关定理，以及连续函数的运算法则、极限、中值定理和最值定理等内容。具体结构安排如下：

- 第二部分将介绍连续函数的定义和基本性质，包括函数的连续性概念、连续函数的定义以及连续函数的基本性质。
- 第三部分将详细阐述连续函数的运算法则，包括四则运算法则、复合函数的连续性以及函数的分段连续性。
- 第四部分将对连续函数的极限进行深入探讨，包括极限的概念回顾、连续函数的极限性质以及常见函数的极限计算。
- 第五部分将重点介绍连续函数的中值定理和最值定理，包括雇役WTa向落定理、罗尔定理以及最值定理和最值点的判定。
- 第六部分将通过应用实例和练习题，帮助读者加深对连续函数理论的理解和掌握。
- 最后，我们将在第七部分对全文进行总结，并指出可能存在的研究不足和展望未来的研究方向。

# 2. 连续函数的定义和基本性质
1. 函数的连续性概念
2. 连续函数的定义
3. 连续函数的基本性质

### 2.1 函数的连续性概念

在数学中，函数的连续性是一个重要的概念。连续性描述了函数在某一点或某一区间内的行为表现。如果函数在某一点或某一区间内没有间断或跳跃现象，我们就说该函数是连续的。函数的连续性是分析函数行为和性质的基础之一。

### 2.2 连续函数的定义

在实数域上，给定函数$f(x)$，若对于任意的实数$x_0$，对应的函数极限$\lim\limits_{x \to x_0}f(x)$存在且等于$f(x_0)$，则称函数$f(x)$在$x=x_0$处连续。若函数在定义域的每一个点处都连续，则称函数$f(x)$是连续函数。

换句话说，函数$f(x)$在$x=x_0$处连续，意味着无论我们如何接近$x_0$，函数值$f(x)$都会接近于$f(x_0)$。这种连续性不仅包括函数值的连续性，还包括函数图像的连续性。

### 2.3 连续函数的基本性质

连续函数具有一些基本性质，这些性质对于分析和研究连续函数的行为非常重要。

**性质1：** 连续函数的和、差、积仍为连续函数。

对于两个连续函数$f(x)$和$g(x)$，它们的和、差$f(x)\pm g(x)$以及积$f(x) \cdot g(x)$都是连续函数。

**性质2：** 连续函数的复合仍为连续函数。

对于连续函数$f(x)$和连续函数$g(x)$，它们的复合函数$g(f(x))$仍然是连续函数。

**性质3：** 连续函数的有界性。

连续函数在闭区间$[a, b]$上是有界的，即存在常数$M$，使得对于任意$x \in [a, b]$，有$|f(x)| \le M$成立。

**性质4：** 连续函数的最值存在。

对于连续函数$f(x)$在闭区间$[a, b]$上，必定存在$x_1, x_2 \in [a, b]$，使得$f(x_1)$是$f(x)$在$[a, b]$上的最大值，$f(x_2)$是$f(x)$在$[a, b]$上的最小值。

**性质5：** 介值定理。

如果连续函数$f(x)$在闭区间$[a, b]$上取到了两个不同的函数值$f(a)$和$f(b)$，那么对于任意的介于$f(a)$和$f(b)$之间的数$c$，必定存在$x \in [a, b]$，使得$f(x) = c$。

通过对连续函数的定义和基本性质的了解，我们可以更好地理解和分析连续函数的行为，为后续的运算法则和定理奠定基础。

# 3. 连续函数的运算法则

#### 1. 四则运算法