高等数学—微积分(1)：函数单调性与极值的分析

# 1. 函数基本概念及导数求解

### 1.1 函数的定义和性质

函数是数学中一种非常重要的对象，它描述了两个集合之间的关系。在计算机科学中，函数也是一种常见的数据类型，可以接受输入并返回输出。函数的基本定义如下：

def function_name(parameters):
    # function body
    return output

函数可以有一个或多个参数（inputs），以及一个返回值（output）。在函数内部，我们可以对输入进行处理，并最终返回一个结果。

函数的性质包括但不限于以下几个方面：

- **可调用性**：函数可以被调用执行，可以通过函数名后面加括号来调用函数。
- **封装性**：函数将一系列相关的代码封装在一起，提高了代码的重用性和可读性。
- **独立性**：函数内部的变量在函数外部不可访问，保证了数据的安全性。
- **可测试性**：函数可以单独进行测试，便于调试和排查问题。

### 1.2 导数的概念和计算方法

导数是函数的一个重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。在数学中，导数的定义如下：

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$$

这个定义表示了函数在$x$点的切线的斜率。计算导数时，常用的方法有：

- **导数的定义**：根据导数的定义进行计算，但这种方法通常比较繁琐。
- **基本导数公式**：根据基本函数的导数公式，对复合函数和常用函数进行求导。
- **导数的性质**：根据导数的性质，例如线性性质、乘法法则、除法法则等，对复杂函数进行求导。

### 1.3 导数的几何意义和物理意义

导数不仅仅是一个数值，它还具有几何意义和物理意义。

- **几何意义**：导数表示了函数在某一点的切线斜率。当函数为增函数时，导数为正，表示函数在该点上升趋势；当函数为减函数时，导数为负，表示函数在该点下降趋势。
- **物理意义**：导数表示了物理量的变化率。例如，位移的导数是速度，速度的导数是加速度。导数可以帮助我们理解和描述物理现象的变化过程。

导数在数学和物理中具有广泛的应用，例如优化问题、曲线拟合、变化趋势分析等。

希望这一章节能帮助您理解函数的基本概念和导数的求解方法。在下一章节中，我们将讨论函数的单调性分析。

# 2. 函数的单调性分析

在数学中，函数的单调性是指函数随着自变量的增大或减小而具有的单调递增或单调递减的性质。具体来说，如果函数在定义域上的任意两个不同的自变量的取值中，函数值的大小关系保持不变，则称该函数为单调函数。

### 2.1 单调递增和单调递减的定义

#### 2.1.1 单调递增

如果对于函数f(x)，对于任意的x1和x2，只要x1 < x2，都有f(x1) <= f(x2)，则称函数f(x)在其定义域上是单调递增的。

#### 2.1.2 单调递减

如果对于函数f(x)，对于任意的x1和x2，只要x1 < x