推导并编写代码计算得出卡方分布参数极大似然估计

在统计学中，卡方分布（Chi-squared distribution）是一种连续概率分布，用于度量观察到的数据与期望频率之间的差异。卡方分布有两个参数：自由度（degrees of freedom，通常记为k）和形状参数（实际上是一个常数，由于卡方分布是对称的，我们主要关注自由度）。在无信息的情况下，我们可以使用最大似然估计法来推导卡方分布的参数。

给定n个独立观测值Xi（i=1...n），它们都服从某个卡方分布，其总体分布可以表示为卡方分布的似然函数：

\[ L(k) = \prod_{i=1}^{n}\frac{1}{\Gamma(\frac{k}{2})} \left(\frac{x_i}{2}\right)^{\frac{k}{2}-1}e^{-\frac{x_i}{2}} \]

其中，\( x_i \) 是每个观测值，\( \Gamma \) 是伽马函数，k是自由度。

最大似然估计的目标是最大化这个似然函数。对于单个观测值，log似然函数更容易求导，因为指数项会变得线性。所以，我们将取对数：

\[ \ln(L(k)) = n \left[ \frac{k}{2} \ln(x_i) - \ln(\Gamma(\frac{k}{2})) - \frac{x_i}{2} \right] \]

然后找到使得这个表达式最大化的k值。为了找到最大值，我们对k求导，并令导数等于0：

\[ \frac{\partial \ln(L)}{\partial k} = \frac{n}{2} \left[ \ln(x_i) + \psi(\frac{k}{2}) - 1 \right] = 0 \]

这里，\( \psi \) 是 digamma 函数。解这个方程得到卡方分布的最大似然估计k值。然而，由于 digamma 函数没有简单的解析解，通常需要数值方法（例如牛顿法）来求解。

以下是一个简单的Python示例，使用scipy.optimize模块的fmin_bfgs函数（一种拟牛顿算法）来近似求解最大似然估计：

from math import log
import scipy.special
import scipy.optimize

def ln_likelihood(k, data):
    n = len(data)
    return n * (k / 2 * sum(log(xi)) - scipy.special.gammaln(k / 2) - sum(xi) / 2)

# 假设data是一个卡方分布的观测值列表
data = [chi_square_observations]  # 替换为实际观测值
initial_guess = 1  # 初始猜测自由度

k_estimate = scipy.optimize.fmin_bfgs(ln_likelihood, initial_guess, args=(data,))
print("卡方分布的自由度最大似然估计:", k_estimate[0])