高斯消元法就是通过线性方程组的系数矩阵对方程组进行一系列等价变换，使得变换后的系数矩阵为一个对角线元素全为1的三角矩阵，然后通过逐步回求得方程组的解。例如下列三元一次方程组的求解过程为：

高斯消元法是一种基础且常用的数值计算方法，用于解决线性方程组。它通过将原方程组表示的增广矩阵（系数矩阵加上常数项构成的矩阵）通过一系列行操作（如交换、倍加、替换），逐步将其转化为上三角矩阵或行简化阶梯形矩阵，这个过程中保持解空间不变。对于给定的例子：

假设我们有以下三元一次方程组：

a1 * x + b1 * y + c1 * z = d1
a2 * x + b2 * y + c2 * z = d2
a3 * x + b3 * y + c3 * z = d3

其对应的增广矩阵可能是这样的：

| a1 b1 c1 | d1 |
| a2 b2 c2 | d2 |
| a3 b3 c3 | d3 |

应用高斯消元法的步骤会包括：

1. **主元素消元**：从第一行开始，选择一个非零元素作为主元素（通常是最左上方的元素），用下面的行替换含有该元素的倍数消除其他元素。
2. **消元**：继续行与行之间的操作，直到所有的非主元素都变成0。
3. **回代**：从最后一行开始，通过已知的上半部分解出变量值，并依次向上回推。

最终得到的上三角矩阵对应着解的系数，通过乘法可以找到x、y、z的具体值。