离散傅里叶变换帕斯瓦尔定理证明

### 离散傅里叶变换中帕斯瓦尔定理的证明

#### 定义与表达式
离散傅里叶变换(DFT)的能量守恒性质由帕斯瓦尔定理描述。该定理表明，在时域内的信号总能量等于频域内各分量能量之和[^1]。

对于长度为N的有限长序列\(x[n]\)，其离散傅里叶变换定义如下：

\[X[k]=\sum_{n=0}^{N-1}{x[n]e^{-j2πkn/N}} \quad k=0,1,...,N-1\]

而逆离散傅里叶变换(IDFT)则表示为:

\[x[n]=(1/N)\sum_{k=0}^{N-1}{X[k]e^{j2πkn/N}} \quad n=0,1,...,N-1\]

根据帕斯瓦尔定理，有：

\[\sum_{n=0}^{N-1}|x[n]|^2=(1/N)\sum_{k=0}^{N-1}|X[k]|^2\]

这说明了原始时间序列平方模值累加的结果等价于经过DFT转换后的频率谱线幅值平方平均之后再乘以因子\(1/N\)得到的结果[^3]。

#### 证明过程
为了证明上述关系成立，可以从IDFT出发考虑：

给定任意两个不同位置上的样本点\(x[m], x[l]\)，利用IDFT公式计算这两个样本之间的互相关可以写作：

\[R(m,l)=\frac{1}{N}\sum_k X(k)e^{i2πkm/N}·X*(l)e^{-i2πkl/N}=∑_k|X(k)|²δ(m-l)/N\]

这里引入狄拉克函数\(\delta(n)\), 当且仅当\(m=l\)时取值为1；否则为零。因此上式实际上代表的是自相关特性而非真正的互相关运算。特别地，令\(m=l=n\)可得：

\[|x[n]|^2=\frac{1}{N}\sum_k |X[k]|^2\]

最后一步是对所有可能的时间索引求和即可获得完整的帕斯瓦尔等式的左侧部分，即整个信号的能量。右侧则是通过遍历所有的频率成分并将其对应的幅度平方相加以完成相同的操作[^2]。

综上所述，完成了离散傅里叶变换下帕斯瓦尔定理的形式化推导。

import numpy as np

def dft(x):
    N = len(x)
    X = []
    for k in range(N):
        sum_val = 0
        for n in range(N):
            sum_val += x[n]*np.exp(-2j*np.pi*k*n/N)
        X.append(sum_val)
    return np.array(X)

# 测试数据
test_signal = [1, 2, 3, 4]
dft_result = dft(test_signal)

energy_time_domain = sum(abs(np.array(test_signal)) ** 2)
energy_freq_domain = (abs(dft_result)**2).mean()

print(f"Time domain energy: {energy_time_domain}")
print(f"Frequency domain energy: {energy_freq_domain * len(test_signal)}")