用单纯形法求解线性方程组 MATLAB

在MATLAB中，单纯形法通常用于解决线性规划问题，尤其是当它表现为标准形式LP问题时，即求解形如：

\[
\max \{ c^T x : Ax \leq b, x \geq 0 \}
\]

其中 \(A\) 是矩阵，\(b\) 是向量，\(c\) 是目标函数系数向量，而 \(x\) 是决策变量向量。如果你有一个线性方程组，例如 \(Ax = b\)，虽然这并不是一个优化问题，你可以通过将其转化为等式约束的线性规划问题来利用MATLAB的`linprog`或`solve`函数间接求解。

首先，你需要将方程组转换成增广矩阵的形式：
\[
\begin{bmatrix}
A \\
I
\end{bmatrix} x =
\begin{bmatrix}
b \\
0
\end{bmatrix}
\]

然后，可以创建一个线性不等式系统，尽管在这个案例中所有的不等式都是等于号。接着，调用`linprog`函数，并设置`Aeq`、`beq`、`lb`（所有变量的下界均为0）、`nonlcon`为`[]`（因为这不是非线性约束），并提供初始基本可行解，或者让MATLAB自动选择。

示例代码如下：

% 创建矩阵A, b
A = ...; % 你的系数矩阵
b = ...; % 目标函数右侧常数

% 增广矩阵
[Aeq, beq] = [A ; ones(size(A,1),1)];
bl = zeros(size(A,2) + 1, 1); % 下边界全0
bu = Inf(size(A,2) + 1, 1);   % 上边界无穷大，因为我们只关心解是否存在

% 求解
[x, fval, exitflag, output] = linprog(zeros(1,size(A,2)), [], Aeq, beq, bl, bu);

请注意，这里的`zoo`表示无界解，`exitflag`返回了解的状态信息。如果想直接求解方程组，建议查阅`mldivide`（.\`)或`pinv`函数。