matlab实现追赶法求解三对角方程组

在MATLAB中，追赶法（Gauss-Seidel method）是一种迭代算法，用于求解三对角矩阵线性系统。这种矩阵通常表示为：

A * x = b

其中A是一个三对角矩阵，即主对角线上下非零元素，副对角线上全是零的矩阵。追赶法则通过循环更新每个未知数x_i的值，先从边界开始，然后逐步向中心推进。

以下是使用MATLAB实现追赶法的基本步骤：

1. 定义矩阵A、向量b和初始猜测值x0。
2. 创建一个循环，通常设置一个收敛条件（比如达到一定的迭代次数或误差小于某个阈值）。
3. 对于每个变量x_i（从第一个非边界的元素开始），按照以下公式更新：
- 如果i=1（上边界），`x(i) = b(1) / A(1,1)`
- 如果i不是第一列也不是最后一行（内部元素），`x(i) = (b(i) - A(i,i+1)*x(i+1) - A(i,i-1)*x(i-1)) / A(i,i)`
- 如果i=n（下边界），`x(n) = (b(n) - A(n,n-1)*x(n-1)) / A(n,n)`
4. 检查收敛条件，如果不满足则继续迭代，直到满足为止。

下面是一个简单的MATLAB函数示例，假设A、b已知：

function [x, iter] = gauss_seidel(A, b, max_iter, tolerance)
% 初始化
x = zeros(size(b));
iter = 0;
error = Inf;

% 迭代过程
while error > tolerance && iter < max_iter
    for i = 2 : size(A, 1) - 1
        x(i) = (b(i) - A(i, i+1) * x(i+1) - A(i, i-1) * x(i-1)) / A(i, i);
    end
    
    if i == size(A, 1)
        x(end) = b(end) / A(end, end);
    elseif i == 1
        x(1) = b(1) / A(1, 1);
    end
    
    error = norm(x - prev_x); % 计算并保存前一迭代结果
    prev_x = x; % 更新当前迭代结果
    iter = iter + 1;
end

这个函数会返回最终的解x以及迭代次数。请注意，实际应用中需要根据具体情况进行调整，例如处理边界条件等。