计算d，满足d×e=1 mod φ(n)，即d是e在模φ(n)下的乘法逆元，因e与φ(n) 互素，由模运算可知，它的乘法逆元一定存在，在本程序中计算d的关键代码位置

在RSA公钥加密算法中，计算私钥d的确切关键代码通常不会直接写出来，因为它涉及到求解模反元素(d × e ≡ 1 mod φ(n))，这是一个费马小定理的应用。由于e已经选择为与φ(n)互素，根据中国剩余定理或扩展欧几里得算法（Extended Euclidean Algorithm），我们可以找到这个逆元。

以下是一个简化的伪代码形式，展示了如何计算私钥d：

def compute_private_key(e, phi_n):
    # 使用扩展欧几里得算法找到d，满足ed ≡ 1 mod φ(n)
    d, _, _ = extended_euclidean_algorithm(e, phi_n)  # 前两个参数返回d和余数信息

    # 如果d < 0，将其转换为正数，因为d通常表示成[0, φ(n)-1]范围内的整数
    if d < 0:
        d = d % phi_n

    return d

# 在上述生成密钥对的过程中，如果没提供私钥，可以在获取公钥后立即计算d
private_key = compute_private_key(public_key, phi_n)

`extended_euclidean_algorithm`函数用于计算最大公约数并找到模逆，这是核心的数学操作。在实际的RSA库如Python的`mpyc`或`Crypto.PublicKey.RSA`中，这一过程通常是封装好的，用户无需手动编写这段代码。

相关问题

RSA算法基本原理与计算：（1）简述RSA算法流程 （2）假设p=7,q=11,公钥e=13，计算私钥d,并对明文“e”进行加密，求密文c。请写出详细的计算步骤。

1. RSA算法流程

RSA算法是一种非对称加密算法，其流程如下：

1.1. 密钥生成

选择两个不同的大素数p和q，计算它们的乘积n=pq，然后计算欧拉函数φ(n)=(p-1)(q-1)。

选择一个小于φ(n)且与φ(n)互质的整数e作为公钥，计算与e关于模φ(n)的乘法逆元d，即满足ed≡1(mod φ(n))的最小正整数d，d即为私钥。

将n和e作为公钥，n和d作为私钥。

1.2. 加密

对于明文m，将其转换为整数M，然后计算密文c，c≡M^e(mod n)。

1.3. 解密

对于密文c，将其解密得到明文m，m≡c^d(mod n)。

2. 计算过程

已知p=7，q=11，e=13，求私钥d和明文“e”的密文c。

2.1. 计算n和φ(n)

n=pq=7×11=77

φ(n)=(p-1)(q-1)=6×10=60

2.2. 计算d

根据ed≡1(mod φ(n))，可以列出如下的同余方程：

13d≡1(mod 60)

将13和60做质因数分解：

60=2^2×3×5

因为13和60互质，所以gcd(13,60)=1。因此，可以通过扩展欧几里得算法求出13关于60的乘法逆元d，即：

13×37≡1(mod 60)

因此，d=37。

2.3. 加密

将明文“e”转换为整数，即M=5，然后计算密文c：

c≡5^13(mod 77)

首先计算5^2≡25(mod 77)，然后通过平方乘法算法计算5^13：

5^13=(5^8×5^4×5)mod 77
=(5^2)^4×5^4×5mod 77
=25^4×625mod 77
=25^4×38mod 77
=25^2×25^2×38mod 77
=34×34×38mod 77
=62

因此，明文“e”的密文为c=62。

注意：实际应用中，RSA算法使用的素数p和q通常至少为1024位，e通常选择65537或者3，计算过程较为复杂，需要使用计算机程序进行计算。

1、采用RSA算法，其中e=7,p=11,q=13,求出公钥和私钥，并求出明文85进行加密后的密文。 2、采用RSA算法，其中p=5,q=7,d=29。求公开密钥和私有密钥，并求出使用e对明文LOVE加密后的密文为多少？ 3、使用维吉尼亚密码进行加密，明文为welcomeeverybody，给出密钥字为bestwish，推算出该明文对应的密文。

1. 根据RSA算法，我们可以先求出模数n、欧拉函数φ(n)和私钥d：
n = p * q = 11 * 13 = 143
φ(n) = (p-1) * (q-1) = 10 * 12 = 120
d ≡ e^-1 (mod φ(n))
通过扩展欧几里得算法可以求出e关于φ(n)的乘法逆元d：
120 = 7 * 17 + 1
1 = 120 - 7 * 17
1 ≡ -7 * 17 (mod 120)
d = -7 ≡ 113 (mod 120)
所以公钥为(n, e) = (143, 7)，私钥为(n, d) = (143, 113)
加密时，将明文85代入公式进行计算：
密文 ≡ 明文^e (mod n)
密文 ≡ 85^7 (mod 143)
密文 ≡ 2489 (mod 143)
所以明文85加密后的密文为2489。

2. 根据RSA算法，我们可以先求出模数n、欧拉函数φ(n)和公钥e：
n = p * q = 5 * 7 = 35
φ(n) = (p-1) * (q-1) = 4 * 6 = 24
e ≡ d^-1 (mod φ(n))
通过扩展欧几里得算法可以求出d关于φ(n)的乘法逆元e：
24 = 29 * 1 - 5
5 = 24 - 29 * 1
1 = 29 * 6 - 24
1 ≡ 6 * 29 (mod 24)
e = 6
所以公钥为(n, e) = (35, 6)，私钥为(n, d) = (35, 29)
加密时，将明文LOVE代入公式进行计算：
L对应的ASCII码为76，O对应的ASCII码为79，V对应的ASCII码为86，E对应的ASCII码为69
明文 ≡ 76 * 1000^3 + 79 * 1000^2 + 86 * 1000 + 69 (mod n)
明文 ≡ 76000 + 7900 + 860 + 69 (mod n)
明文 ≡ 84629 (mod n)
密文 ≡ 明文^e (mod n)
密文 ≡ 84629^6 (mod 35)
密文 ≡ 11 (mod 35)
所以明文LOVE加密后的密文为11。

3. 维吉尼亚密码使用一个密钥字（一个字母序列）来进行加密。首先将密钥字重复到与明文等长，然后将明文和密钥字一一对应，按照字母表的顺序将明文中的每个字母加上密钥字中对应位置上的字母（注意要对26取模），得到密文。
将明文和密钥字转换为数字，A对应0，B对应1，以此类推，空格对应26：
明文：22 4 11 2 14 2 11 4 21 17 14 3 14 3 24 17 3 14 3 24
密钥字：1 4 18 22 8 18 18 8 0 24 18
将密钥字重复到与明文等长：
密钥字：1 4 18 22 8 18 18 8 0 24 18 1 4 18 22 8 18 18 8 0
然后将明文和密钥字一一对应，并按照字母表的顺序相加取模26得到密文：
密文：W T C D C Q X I B O R Q D U H N Q D U
所以明文welcomeeverybody加密后的密文为WTCDCQXIBORQDUHNQDU。