提供cholesky消元法的代码框架

Cholesky分解是一种用于求解线性系统或计算协方差矩阵等操作的有效数学工具，它将一个对称正定矩阵A表示为L * L^T的形式，其中L是一个下三角矩阵。以下是一个简单的Python代码框架，使用numpy库实现Cholesky分解：

import numpy as np

def cholesky_decomposition(matrix):
    # 检查输入是否是对称正定矩阵
    if not np.allclose(matrix, matrix.T) or np.linalg.eigvals(matrix).min() <= 0:
        raise ValueError("Input matrix must be symmetric and positive definite.")

    n = matrix.shape[0]
    lower_matrix = np.zeros((n, n))

    for i in range(n):
        for j in range(i):
            sum_elements = sum(lower_matrix[i, :j] * lower_matrix[j, :j])
            lower_matrix[i, j] = (matrix[i, j] - sum_elements) / lower_matrix[j, j]

        # 如果当前行的主元素为0，则矩阵不是满秩的，返回错误
        if lower_matrix[i, i] == 0:
            return None

        lower_matrix[i, i:] = (matrix[i, i+:] - np.dot(lower_matrix[i, :i], lower_matrix[:, i:i+1])) / lower_matrix[i, i]

    return lower_matrix

# 使用示例
matrix = np.array([[4, 12], [12, 37]])
lower_matrix = cholesky_decomposition(matrix)
if lower_matrix is not None:
    print(f"Lower triangular matrix: \n{lower_matrix}")