2.给定平面中5个点坐标列向量a1=(0,0)',a2=(0.5,0)',a3=(1,0)',a4=(1,1)'，a5=(0,1)’，建立相应圆拟合模型并求解，确定圆心坐标和半径。最小二乘法

要使用最小二乘法在二维平面上拟合包含五个点的圆，我们需要先确定圆的标准形式方程，即：

\[ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \]

其中，`(h, k)` 是圆心坐标，`r` 是半径。

对于给定的五个点，我们首先将它们转换为笛卡尔坐标系下的 (x, y) 形式：

- 点1：(0, 0)
- 点2：(0.5, 0)
- 点3：(1, 0)
- 点4：(1, 1)
- 点5：(0, 1)

接下来，我们可以创建一个矩阵 A，它包含了所有点的横纵坐标的差分，以及一个一维向量 b，包含了每个点到原点距离的平方（这是基于我们的假设，原点是圆心的一个候选位置）。然后我们将通过最小化残差 \( ||Ax - b||^2 \) 来找到圆心坐标 (h, k) 和半径 r。

矩阵 A 的形式为：

\[ A = \begin{pmatrix}
1 & -1 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & -1 & -1
\end{pmatrix} \]
\[ b = \begin{pmatrix}
0^2 \\
0.5^2 \\
1^2 \\
1^2 \\
0^2
\end{pmatrix} \]

现在，我们需要找到矩阵 \( A^T A \) 的逆，然后将 \( A^T b \) 乘以其逆来得到 (h, k, r) 的值：

\[ \begin{align*}
(h, k, r) &= (A^T A)^{-1} A^T b \\
&= \left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 1 & -1 & 0.5^2 \\
-1 & -1 & 2 & 1^2 \\
0 & -1 & -1 & 0^2
\end{array}\right)^{-1} \cdot \left(\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
1 \\
0
\end{array}\right)
\end{align*} \]

在MATLAB中，可以这样做：

A = [1, -1, 0, -1, 0; 0, 0, 1, -1, -1];
b = [0; 0.25; 1; 1; 0];

% 计算协方差矩阵 A'A
covariance_matrix = A' * A;

% 计算逆矩阵
inv_covariance_matrix = inv(covariance_matrix);

% 计算 (h, k, r)
solution = inv_covariance_matrix * A';
[h, k, r] = solution';

% 输出结果
fprintf('圆心坐标: (%f, %f)\n', h, k);
fprintf('半径: %f\n', r);

注意，由于我们的起点是将原点作为可能的圆心，所以结果可能不是最理想的圆心，如果其他点更接近某一点，那么那点可能是真正的圆心。如果你想要找出全局最优解，可能需要使用优化方法比如Levenberg-Marquardt或遗传算法等。