证明2^(1/2)+3^(1/2)在有理数域上的极小多项式
时间: 2023-11-18 07:05:25 浏览: 31
设 $x=\sqrt{2}+\sqrt{3}$,则 $x-\sqrt{2}=\sqrt{3}$,两边平方得 $x^2-2\sqrt{2}x+2=3$,即 $x^2-2\sqrt{2}x-1=0$。
再将 $x-\sqrt{3}$ 代入 $x^2-2\sqrt{2}x-1=0$ 中,得到 $(x-\sqrt{3})^2-2=0$,即 $x^2-2\sqrt{3}x-2=0$。
因此,$x$ 是方程组 $x^2-2\sqrt{2}x-1=0$ 和 $x^2-2\sqrt{3}x-2=0$ 的公共解,这两个方程的最小公共多项式就是 $(x^2-2\sqrt{2}x-1)^2-2(x^2-2\sqrt{3}x-2)=0$,即 $x^4-10x^2+1=0$。
所以,$2^{1/2}+3^{1/2}$ 在有理数域上的极小多项式为 $x^4-10x^2+1$。
相关问题
证明2^(1/2)+3^(1/3)在有理数域上的极小多项式
设 $x=\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}$,则 $x-\sqrt{2}=\sqrt[3]{3}$,两边立方得到 $x^3-3\sqrt{2}x^2+6x-11=0$。
再将 $x-\sqrt[3]{3}$ 代入上式得到 $(x-\sqrt[3]{3})^2-2=0$,即 $x^2-2\sqrt{2}x-3=0$。
因此,$x$ 是方程组 $x^3-3\sqrt{2}x^2+6x-11=0$ 和 $x^2-2\sqrt{2}x-3=0$ 的公共解,这两个方程的最小公共多项式就是 $x^6-10x^4+36x^2-108x+61$。
所以,$2^{1/2}+3^{1/3}$ 在有理数域上的极小多项式为 $x^6-10x^4+36x^2-108x+61$。
利用艾森斯坦判别法判断多项式在有理数域上是否可约
好的,根据艾森斯坦判别法,一个多项式在有理数域上可约,当且仅当它满足以下条件:
1. 多项式的首项系数不为 $0$;
2. 存在一个质数 $p$,满足 $p$ 是多项式中所有非首项系数的公因数,但不是首项系数的因数,且 $p^2$ 不是首项系数的因数。
因此,我们可以先将多项式表示成 $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$ 的形式,其中 $a_n\neq 0$。然后,我们可以找到一个质数 $p$,满足 $p$ 是所有 $a_i$($0<i<n$)的公因数,但 $p$ 不是 $a_n$ 的因数。如果 $p^2$ 也不是 $a_n$ 的因数,那么多项式在有理数域上就是不可约的;否则多项式在有理数域上就是可约的。
需要注意的是,这里的质数 $p$ 可以通过枚举 $1\leq p\leq |a_0|$ 来进行寻找。如果找不到这样的 $p$,那么多项式在有理数域上就是不可约的。