证明2^(1/2)+3^(1/2)在有理数域上的极小多项式

设 $x=\sqrt{2}+\sqrt{3}$，则 $x-\sqrt{2}=\sqrt{3}$，两边平方得 $x^2-2\sqrt{2}x+2=3$，即 $x^2-2\sqrt{2}x-1=0$。

再将 $x-\sqrt{3}$ 代入 $x^2-2\sqrt{2}x-1=0$ 中，得到 $(x-\sqrt{3})^2-2=0$，即 $x^2-2\sqrt{3}x-2=0$。

因此，$x$ 是方程组 $x^2-2\sqrt{2}x-1=0$ 和 $x^2-2\sqrt{3}x-2=0$ 的公共解，这两个方程的最小公共多项式就是 $(x^2-2\sqrt{2}x-1)^2-2(x^2-2\sqrt{3}x-2)=0$，即 $x^4-10x^2+1=0$。

所以，$2^{1/2}+3^{1/2}$ 在有理数域上的极小多项式为 $x^4-10x^2+1$。

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证明2^(1/2)+3^(1/3)在有理数域上的极小多项式

设 $x=\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}$，则 $x-\sqrt{2}=\sqrt[3]{3}$，两边立方得到 $x^3-3\sqrt{2}x^2+6x-11=0$。

再将 $x-\sqrt[3]{3}$ 代入上式得到 $(x-\sqrt[3]{3})^2-2=0$，即 $x^2-2\sqrt{2}x-3=0$。

因此，$x$ 是方程组 $x^3-3\sqrt{2}x^2+6x-11=0$ 和 $x^2-2\sqrt{2}x-3=0$ 的公共解，这两个方程的最小公共多项式就是 $x^6-10x^4+36x^2-108x+61$。

所以，$2^{1/2}+3^{1/3}$ 在有理数域上的极小多项式为 $x^6-10x^4+36x^2-108x+61$。