给我讲解一下最长公共子序列问题
时间: 2023-05-27 07:03:02 浏览: 68
最长公共子序列问题(Longest Common Subsequence,LCS)是指在两个序列中找到一个最长的共同子序列。其中,子序列指的是原序列中删除一些元素后得到的新序列,而不需要连续的元素。例如,在序列"abcdefg"和"bcdegh"中,"bde"就是它们的一个最长公共子序列。
这个问题可以用动态规划的方法解决。我们可以定义一个二维数组dp,其中dp[i][j]表示序列A的前i个元素和序列B的前j个元素的最长公共子序列的长度。那么,我们可以考虑如下状态转移方程:
dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1 if A[i] == B[j]
max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) if A[i] ≠ B[j]
其中,如果A[i]和B[j]相等,则表示当前元素可以添加到最长公共子序列中,此时最长公共子序列的长度应该加1。如果不相等,则表示当前元素不符合最长公共子序列的要求,我们可以删除A[i]或者B[j]中的一个元素,从两种情况中选出一个最大值作为dp[i][j]的值。
最终,dp[m][n]的值即为两个序列的最长公共子序列的长度。而如果需要找到最长公共子序列本身,可以按照上述状态转移方程,从dp[m][n]开始逆推,将每个状态推回到初始状态dp[0][0],同时记录下转移的路径,即可得到最长公共子序列。
相关问题
用Python编程,用动态规划方法求解最长公共子序列问题,并给出注释和程序分析:求两个序列X=(a,b,c,b,d,b),Y=(a,c,b,b,a,b,d,b,b)的最长公共子序列问题
好的,我来为你讲解动态规划方法求解最长公共子序列问题的Python程序。
首先,我们需要定义一个函数,命名为`LCS`,该函数接收两个参数`X`和`Y`,分别表示两个序列。函数的返回值为最长公共子序列的长度。
```python
def LCS(X, Y):
```
接下来,我们需要初始化一个二维的列表`c`,用于存储最长公共子序列的长度。其中,`c[i][j]`表示序列`X`的前`i`个元素与序列`Y`的前`j`个元素的最长公共子序列的长度。
```python
m = len(X)
n = len(Y)
c = [[0] * (n + 1) for i in range(m + 1)]
```
然后,我们需要使用动态规划的思想,逐步求解`c`数组中的每一个元素值。具体来说,我们可以使用以下的状态转移方程:
$$
c[i][j] = \begin{cases}
0, &i=0\text{或}j=0 \\
c[i-1][j-1]+1, &i,j>0\text{且}X[i]=Y[j] \\
\max(c[i][j-1], c[i-1][j]), &i,j>0\text{且}X[i]\neq Y[j]
\end{cases}
$$
其中,第一行和第一列的元素值都为0,因为空序列的最长公共子序列长度为0。当序列`X`的第`i`个元素与序列`Y`的第`j`个元素相等时,最长公共子序列长度加1。否则,最长公共子序列的长度为序列`X`的前`i-1`个元素与序列`Y`的前`j`个元素的最长公共子序列长度,以及序列`X`的前`i`个元素与序列`Y`的前`j-1`个元素的最长公共子序列长度中的最大值。
```python
for i in range(1, m + 1):
for j in range(1, n + 1):
if X[i - 1] == Y[j - 1]:
c[i][j] = c[i - 1][j - 1] + 1
else:
c[i][j] = max(c[i][j - 1], c[i - 1][j])
```
最后,我们返回`c[m][n]`,即序列`X`和序列`Y`的最长公共子序列的长度。
```python
return c[m][n]
```
完整的代码如下:
```python
def LCS(X, Y):
m = len(X)
n = len(Y)
c = [[0] * (n + 1) for i in range(m + 1)]
for i in range(1, m + 1):
for j in range(1, n + 1):
if X[i - 1] == Y[j - 1]:
c[i][j] = c[i - 1][j - 1] + 1
else:
c[i][j] = max(c[i][j - 1], c[i - 1][j])
return c[m][n]
```
现在,我们可以使用该函数来求解题目中的例子。具体来说,我们可以调用函数`LCS`,传入参数`['a', 'b', 'c', 'b', 'd', 'b']`和`['a', 'c', 'b', 'b', 'a', 'b', 'd', 'b', 'b']`,得到最长公共子序列的长度为5。
```python
X = ['a', 'b', 'c', 'b', 'd', 'b']
Y = ['a', 'c', 'b', 'b', 'a', 'b', 'd', 'b', 'b']
print(LCS(X, Y)) # 输出5
```
至此,我们已经完成了用动态规划方法求解最长公共子序列问题的Python程序。
C++中怎么求两个序列的LCS,讲解一下
LCS是最长公共子序列(Longest Common Subsequence)的缩写。给定两个序列,求它们的最长公共子序列,即在两个序列中以相同顺序出现的最长子序列。
以下是一个求解两个序列的LCS的C++算法:
1. 定义一个二维数组 `dp`,其中 `dp[i][j]` 表示序列 A 的前 `i` 个字符和序列 B 的前 `j` 个字符的最长公共子序列的长度。
2. 初始化 `dp` 数组,将 `dp[0][j]` 和 `dp[i][0]` 均设为 0。
3. 遍历序列 A 和序列 B,当 A[i] 等于 B[j] 时,`dp[i][j]` 为 `dp[i-1][j-1]+1`;当 A[i] 不等于 B[j] 时,`dp[i][j]` 为 `max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])`。
4. 最终 `dp[m][n]` 就是序列 A 和序列 B 的最长公共子序列的长度。
5. 可以通过 `dp` 数组来找到最长公共子序列。从 `dp[m][n]` 开始,如果 A[i] 等于 B[j],将 A[i] 加入结果中,然后向左上角移动一步,即 `i--` 和 `j--`;如果 A[i] 不等于 B[j],则向 `dp[i-1][j]` 或 `dp[i][j-1]` 中较大的一个方向移动。
下面是具体的C++代码实现:
```c++
int LCS(string A, string B) {
int m = A.size(), n = B.size();
vector<vector<int>> dp(m+1, vector<int>(n+1, 0));
for (int i = 1; i <= m; i++) {
for (int j = 1; j <= n; j++) {
if (A[i-1] == B[j-1]) {
dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
} else {
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);
}
}
}
return dp[m][n];
}
```
注意,以上代码只求了最长公共子序列的长度,如果需要求具体的最长公共子序列,可以参考步骤5中的描述。
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