B样条曲线第i段曲线的控制多边形的三个顶点为P0(0,50)、P1(100,150)、P2(200,0),求一条2次多项式B样条曲线来拟合这三个点(参数t分别取0、1/2、1)

时间: 2024-01-15 08:04:29 浏览: 100
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3次B样条曲线拟合.rar_B样条 参数化_B样条曲线_b样条控制点_参数化 控制点_曲线拟合

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B样条曲线是一种基于控制多边形的曲线,可以通过调整控制点的位置来改变曲线的形状。对于给定的控制多边形,B样条曲线可以通过以下步骤来计算: 1. 计算节点向量 设控制多边形有n个顶点,则节点向量的长度为(n+2k),其中k为B样条的阶数。一般情况下,B样条的阶数为3或4。节点向量的值通过以下公式计算: ``` t_i = i-k+1, i=1,2,...,k t_i = t_{i-1}+1, i=k+1,k+2,...,n t_i = n-k+2, i=n+1,n+2,...,n+k ``` 在本题中,k=2,控制多边形有3个顶点,因此节点向量为:{0,0,1,2,3,3} 2. 计算基函数 B样条曲线的形状由基函数决定。对于2次B样条曲线,基函数有3个,分别为: ``` N_{i,2}(t) = (t-t_i)/(t_{i+2}-t_i) * N_{i,1}(t) + (t_{i+3}-t)/(t_{i+3}-t_{i+1}) * N_{i+1,1}(t), i=1,2,...,n-2 N_{i,1}(t) = (t-t_i)/(t_{i+1}-t_i), i=1,2,...,n-1 ``` 其中,N_{i,2}(t)表示第i段曲线的基函数,N_{i,1}(t)为辅助基函数。 3. 计算系数 通过控制多边形和基函数,可以得到一个方程组Ax=b,其中A为基函数矩阵,b为控制点的坐标向量,x为待求系数向量。解这个方程组可以得到系数向量。 在本题中,控制多边形的三个顶点为P0(0,50)、P1(100,150)、P2(200,0)。根据上述步骤,可以得到如下计算过程: 1. 计算节点向量:{0,0,1,2,3,3} 2. 计算基函数: ``` N_{1,2}(t) = (t-0)/(2-0) * N_{1,1}(t) + (3-t)/(3-1) * N_{2,1}(t) = 0.5 * N_{1,1}(t) + 1.5 * N_{2,1}(t) N_{2,2}(t) = (t-1)/(3-1) * N_{2,1}(t) + (4-t)/(4-2) * N_{3,1}(t) = 0.5 * N_{2,1}(t) + 1.5 * N_{3,1}(t) ``` 辅助基函数为: ``` N_{i,1}(t) = (t-t_i)/(t_{i+1}-t_i) = (t-t_i)/h, i=1,2,...,n-1 ``` 其中,h为节点间距。 所以,辅助基函数为: ``` N_{1,1}(t) = (t-0)/100 = t/100 N_{2,1}(t) = (t-100)/100 = (t-100)/100 N_{3,1}(t) = (t-200)/100 = (t-200)/100 ``` 因此,基函数为: ``` N_{1,2}(t) = 0.5 * t/100 + 1.5 * (t-100)/100 = 1.5t/100 - 0.75 N_{2,2}(t) = 0.5 * (t-100)/100 + 1.5 * (t-200)/100 = -t/100 + 2.25 ``` 3. 计算系数 设曲线为Y(t),则 ``` Y(t) = a_1 * N_{1,2}(t) + a_2 * N_{2,2}(t) ``` 根据控制点的坐标,可以得到以下方程组: ``` 50 = a_1 * N_{1,2}(0) + a_2 * N_{2,2}(0) 150 = a_1 * N_{1,2}(0.5) + a_2 * N_{2,2}(0.5) 0 = a_1 * N_{1,2}(1) + a_2 * N_{2,2}(1) ``` 将基函数代入方程组中,得到: ``` 50 = -0.75 * a_1 + 2.25 * a_2 150 = 0.5625 * a_1 + 1.6875 * a_2 0 = -0.75 * a_1 + 1.5 * a_2 ``` 解这个方程组,可以得到: ``` a_1 = 100 a_2 = -50 ``` 因此,2次B样条曲线为: ``` Y(t) = 100 * (1.5t/100 - 0.75) - 50 * (-t/100 + 2.25) = 1.5t^2/100 - 0.75t + 125 ```
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