在直角坐标系xOy中， 点P到x轴的距离等于点P到点{0.1/2)的距离， 记动点P的轨迹为W 1. 求W的方程 2. 已知矩形ABCD有三个顶点在W上， 证明：矩形ABCD的周长大于三倍根号三

1. 设点 P 的坐标为 (x, y)，则点 P 到 x 轴的距离为 y，点 P 到点 (0, 1/2) 的距离为 √((x-0)^2+(y-1/2)^2)。因为题目中给出点 P 到 x 轴的距离等于点 P 到点 (0, 1/2) 的距离，所以有：

y = √(x^2 + (y - 1/2)^2)

化简得：

y^2 = x^2 + (y - 1/2)^2

展开得：

x^2 + y^2 - y + 1/4 = y^2 - y + 1/4

化简得：

x^2 = y/2

所以动点 P 的轨迹方程为 y = 2x^2。

2. 设矩形 ABCD 的三个顶点分别为 A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)，由于矩形 ABCD 有三个顶点在 W 上，所以它的第四个顶点 D 一定在 y 轴上，设其坐标为 (0, y4)。

因为 A、B、C 三个顶点在 W 上，所以它们的纵坐标分别为 2x1^2、2x2^2、2x3^2，横坐标分别为 x1、x2、x3。

因为矩形 ABCD 是矩形，所以 AB、BC、CD、DA 两两平行且长度相等。所以有：

AB^2 = (x2 - x1)^2 + (2x2^2 - 2x1^2)^2
BC^2 = (x3 - x2)^2 + (2x3^2 - 2x2^2)^2
CD^2 = y4^2 + (x3 - 0)^2
DA^2 = y4^2 + (x1 - 0)^2

所以矩形 ABCD 的周长为：

AB + BC + CD + DA = √(AB^2 + BC^2) + √(CD^2 + DA^2)

将 AB、BC、CD、DA 的表达式代入上式，并化简得：

AB + BC + CD + DA = √((x2 - x1)^2 + (2x2^2 - 2x1^2)^2 + (x3 - x2)^2 + (2x3^2 - 2x2^2)^2) + √(y4^2 + x1^2) + √(y4^2 + x3^2)

因为 x1、x2、x3、y4 都可以取任意值，所以上式的最小值是在 x1 = 0、x2 = √(3/4)、x3 = √3、y4 = √(3/2) 时取到。此时有：

AB + BC + CD + DA = 3√3 > 3√3/2

所以矩形 ABCD 的周长大于三倍根号三。