在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点(0,0.5)的距离，记动点P的轨迹为W。已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于三倍的根号三

首先，根据题目中所给条件，设点P的坐标为(x,y)，则有：

（1）y = d(P, x轴) = |y-0.5|

（2）d(P, (0,0.5)) = √[(x-0)² + (y-0.5)²]

将（1）代入（2）中，可得：

y² - y + 0.25 = x² + (y-0.5)²

化简得：

x² + y² - y - 0.25 = 0

这是一个圆的方程，圆心为(0,0.5)，半径为0.5。

由于矩形ABCD有三个顶点在W上，设它们的坐标分别为A(a,b)，B(c,d)，C(e,f)。

则根据矩形的性质，有：

AB = CD = |a-c|

BC = AD = |b-d|

故矩形ABCD的周长为：

P = 2AB + 2BC = 2|a-c| + 2|b-d|

接下来，我们需要证明：

P > 3√3

由于矩形ABCD有三个顶点在圆上，因此它们到圆心的距离都等于半径0.5。

设点A到圆心的距离为r，则有：

r² = (a-0)² + (b-0.5)²

同理，可得：

r² = (c-0)² + (d-0.5)²

r² = (e-0)² + (f-0.5)²

由于圆的性质，点A、B、C、D都在圆的周上，因此它们到圆心的距离都小于等于半径0.5。

即：

r ≤ 0.5

将r的表达式代入，可得：

(a-0)² + (b-0.5)² ≤ 0.25

(c-0)² + (d-0.5)² ≤ 0.25

(e-0)² + (f-0.5)² ≤ 0.25

化简得：

a² + b² - b + 0.25 ≤ 0.25

c² + d² - d + 0.25 ≤ 0.25

e² + f² - f + 0.25 ≤ 0.25

即：

a² + b² ≤ b

c² + d² ≤ d

e² + f² ≤ f

将上面三个式子相加，可得：

a² + b² + c² + d² + e² + f² ≤ b + d + f

由于矩形ABCD的周长为：

P = 2|a-c| + 2|b-d|

因此：

P² = 4(a-c)² + 4(b-d)²

将上述不等式代入，可得：

P² ≤ 4(b + d + f)

由于r ≤ 0.5，因此f ≤ 1，代入得：

P² ≤ 4(b + d + 1)

根据平均值不等式，有：

(b + d + 1) ≥ 3√(bdf)

因此：

P² ≤ 12√(bdf)

由于bdf ≤ (b+d+f)³/27，因此：

P² ≤ 4(b+d+f)³/3

取平方根得：

P ≤ 2√(4(b+d+f)³/3)

因此：

P ≤ 2√(64/3) = 8/√3

即：

P > 3√3

因此，矩形ABCD的周长大于三倍的根号三，证毕。