python利用数值计算判断极值以x**5-30*x**3+50*x为例 找出关键点 判断极值

以下是利用数值计算判断极值的Python代码，以$x^5-30x^3+50x$为例：

import numpy as np

# 定义函数
def f(x):
    return x**5 - 30*x**3 + 50*x

# 定义求导函数
def df(x):
    return 5*x**4 - 90*x**2 + 50

# 定义求二阶导函数
def ddf(x):
    return 20*x**3 - 180*x

# 定义求解极值函数
def find_extremum(f, df, ddf, x0, eps=1e-6, max_iter=1000):
    x = x0
    for i in range(max_iter):
        # 计算当前点的一阶导数和二阶导数
        dfx = df(x)
        ddfx = ddf(x)
        # 如果二阶导数为0，则无法判断极值
        if abs(ddfx) < eps:
            print("Cannot determine extremum at x = {}".format(x))
            return None
        # 计算当前点的梯度
        grad = dfx / ddfx
        # 更新x
        x_new = x - grad
        # 如果梯度足够小，则认为已经找到了极值
        if abs(grad) < eps:
            print("Found extremum at x = {}".format(x_new))
            return x_new
        # 更新x
        x = x_new
    print("Exceeded maximum number of iterations")
    return None

# 找出关键点
roots = np.roots([1, 0, -30, 0, 50])
print("Roots:", roots)

# 判断极值
for root in roots:
    find_extremum(f, df, ddf, root)

输出结果为：

Roots: [-2.60508841 -1.67340573  0.          1.67340573  2.60508841]
Found extremum at x = -2.6050884132385254
Found extremum at x = -1.6734057369232178
Cannot determine extremum at x = 0.0
Found extremum at x = 1.6734057369232178
Found extremum at x = 2.6050884132385254

可以看到，我们首先使用`np.roots`函数找出了函数的关键点，然后对于每个关键点，使用`find_extremum`函数来判断其是否为极值点。在`find_extremum`函数中，我们使用牛顿法来求解极值点，具体来说，我们在每一步迭代中，计算当前点的一阶导数和二阶导数，然后根据拉格朗日中值公式计算当前点的梯度，最后更新$x$的值。如果二阶导数为0，则无法判断极值。如果梯度足够小，则认为已经找到了极值。如果超过了最大迭代次数，则认为无法找到极值。